通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。

一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。

通过分析古巴比伦泥板上的代数问题，可以发现，在公元前2250年古巴比伦人就已经掌握了与求解一元二次方程相关的代数学知识，并将之应用于解决有关矩形面积和边的问题。相关的算法可以追溯到乌尔第三王朝。

在发现于卡呼恩（Kahun）的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的问题。

公元前300年前后，活跃于古希腊文化中心亚历山大的数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命题5、命题6以及卷VI命题12、命题13的内容相当于二次方程的几何解。

继欧几里得之后，亚历山大数学发展第二次高潮“白银时代”的代表人物丢番图（Diophantus）发表了《算术》（Arithmetica）。该书出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题。这足以说明丢番图熟练掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正有理根。不过他始终只取一个根，如果有两个正根，他就取较大的一个。

中国古代数学很早就涉及二次方程问题。在中国传统数学最重要的著作《九章算术》中就已涉及相关问题。因此可以肯定，二次方程及其解法自东汉以来就已为人们所熟知了。

公元628年，印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，公元598-665年以后卒）完成了《婆罗摩修正体系》（Brahma-sphuta-siddhanta），其中有两章专论数学。在该书中，婆罗摩笈多明确给出了形如的求根公式：

但婆罗摩笈多当时是用语言来表述的，没有使用符号。

前面叙述的这些数学成就大多是后来的数学史家们考证的成果，而近现代数学中方程思想的源头一般明确追溯到9世纪初的阿拉伯世界。

公元5-11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期。天主教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。在此期间，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。

在推翻倭马亚王朝之后，阿拔斯王朝将首都迁往巴格达，其第二任哈里发曼苏尔（al-Mansur，公元754-775年在位）仿效波斯旧制，建立起了完整的行政体制。在最初的100年时间里，特别是第五任哈里发哈伦·拉希德（Harunal-Rashid，公元786-809年在位）和第七任哈里发马蒙（al-Ma'mūn，公元813-833年在位）执政时期，是阿拉伯帝国极盛时期，同时阿拉伯帝国的科学文化事业在广泛吸收古希腊、印度等文明成果的基础上进入了繁荣昌盛阶段。

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。中世纪阿拉伯数学家对世界影响最大的可说是花拉子密（al-Khwārizmī，约公元783-850年）。约公元820年，花拉子密的著作《还原与对消之书》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，简称《代数学》）问世。在该书中，他将“还原（al-jabr）”定义为这样一种运算，即将方程一侧的一个减去的量移到方程的另一侧变为加上的量；单词“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是将方程两侧相等的同类正项消去，此处译为“对消”。后来的阿拉伯数学家通常用“还原（al-jabr）”一词来代替整个还原与对消算法，并逐渐用来表示一个数学分支，最终其演变为当代的“代数（algebra）”一词。

由于花拉子密只承认方程的正根，所以在《代数学》中他将一元二次方程分为六种类型：

①

②

③

④

⑤

⑥

其中，这样便穷尽了有正根的一元二次方程的所有可能，同时花拉子密给出了与当代相同的公式解。《代数学》全书没有符号，但有明确的方程思想，其中“还原与对消”方法作为代数学的基本特征被长期保留下来，并基本确立了后世阿拉伯代数学中方程化简（多项式理论）和方程求解这两条主要发展脉络。正因如此，著名数学史家鲍耶（C.B.Boyer，1906-1976年）将花拉子密称为“代数学之父”。

花拉子密的工作很快被阿布·卡米尔（Abū Kāmil，约公元850-930年）等阿拉伯数学家继承并发展。虽然花拉子密的《代数学》在12世纪初已被译成拉丁文并开始在伊比利亚半岛传播，但对花拉子密代数思想在欧洲传播起到关键作用的是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-1250）。斐波那契在其著作《计算之书》（Liber Abaci，1202）中系统介绍了印度－阿拉伯数码，二次和三次方程以及不定方程理论。斐波那契参阅了卡米尔的代数学著作，并指出与一元二次方程有关的理论源自花拉子密。《计算之书》对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响，并最终引导了16世意大利代数方程求解方向的突破。

随着欧洲人在代数学领域的深入研究，包括一元二次方程在内的数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta，1540-1603）给出了代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法，并将数学符号系统化。1637年，笛卡儿（René Descartes，1596-1650）完成了对韦达代数符号的改进并首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求解。

一般地，对于方程（I）（I）（x2=p是最简单的一元二次方程）

⑴当时，根据平方根的意义，方程（I）有两个不等的实数根

⑵当时，方程（I）有两个相等的实数根；

⑶当时，因为对任意的实数，都有，所以方程（I）无实数根。但是方程（I）在复数域内有解，

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（II）的形式，那么就有：

⑴当时，根据平方根的意义，方程（II）有两个不等的实数根

⑵当时，方程（II）有两个相等的实数根；

⑶当时，因为对任意的实数，都有，所以方程（II）无实数根，但是在复数域内有解

对于任意的一元二次方程，配方的方法是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

主词条：一元二次方程求根公式

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式（III）

根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题：

移项，得

二次项系数化为1，得

配方，得

即得 ①式

因为，所以，式子的值有以下三种情况：

⑴

这时

由①得

得

方程有两个不等的实数根

⑵

这时

由①得

方程有两个相等的实数根

⑶

这时

由①可知

而取任何实数都不能使，因此方程无实数根。

一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”（读作：[ˈdeltə]）表示它，即.

由上可知，

当时，方程有两个不等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程无实数根。

当时，方程的实数根可写为

这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

把一个一元二次方程整理成一般形式后，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程存在两个实根，那么它可以因式分解为。

如上所述，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

注：当方程等号两边同时出现同一个整式时，不可以用约分的方法约去相同的整式。

用C语言求解一元二次方程的代码如下：

用python语言求解一元二次方程的代码如下：

方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系。一元二次方程根与系数之间的关系表现于以下方面。

从因式分解法可知，方程的两根为和，将方程化为的形式。把方程的左边展开，化为一般形式，得方程

这个方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项

于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：

与原方程对照：

等式两边同时除以,得到

于是,

也可以利用求根公式得，

由此可得

因此，方程的两个根和系数有如下关系：

这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，这两个根的积等于常数项与二次项系数的比。

一般地，二次函数可以通过配方化成的形式，即

因此，抛物线的对称轴是，顶点是，如下图所示，从二次函数的图像可以看出：

如果，当时，随的增大而减小，当时，随增大而增大；

如果，当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小。

对于二次函数，

当时，二次函数与x轴有两个交点；

当，二次函数与x轴有一个交点（相切）；

当时，二次函数与x轴没有交点。