一元一次方程
数学方程
一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。
历史溯源
一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。
约公元前1650年,古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题,题目为:“一个量,加上它的等于19,求这个量。”解决了形为的一次方程,即单假设法解决问题。
公元前1世纪左右,中国人在《九章算术》中首次加入了负数,并提出了正负数的运算法则,解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11~13世纪时传入阿拉伯地区,并被称为“契丹算法”。
9世纪,阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法,即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。
12世纪,印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法(设未知数)来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数,婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。
13世纪,中国的盈不足术传入欧洲,意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。
16世纪时,韦达创立符号代数之后,提出了方程的移项与同除命题,也创立了这一概念,被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。
16世纪时,明代数学家程大位(1533-1606)在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。
1859年,中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。
概念定义
只含有一个未知数,且未知数的高次数是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。其一般形式是:
有时也写作:
可以通过等式性质化简而成为一元一次方程的整式方程(如)也属于一元一次方程。一元一次方程是一种线性方程,且只有一个根。
求根方法
一般方法
解一元一次方程有五步,即去分母去括号移项合并同类项系数化为1,所有步骤都根据整式和等式的性质进行。
以解方程为例:
去分母,得:
去括号,得:
移项,得:
合并同类项,得:(常简写为“合并,得:”)
系数化为1,得:
在一元一次方程中,去分母一步通常乘以各分母的最小公倍数,如果分母为分数,则可化为该一项的其他部分乘以分母上分数的倒数的形式。
以方程为例:
消除分母上的分数,可化简为:
进而得出方程的解。
如果分母上有无理数,则需要先将分母有理化
求根公式法
基本公式
对于关于的一元一次方程,其求根公式为:
推导过程
解:移项,得:
系数化为1,得:
图像法
对于关于的一元一次方程可以通过做出一次函数来解决。一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时,自变量的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。
以方程为例:
如图1,作出函数的图象。
由图像知函数图象与x轴交于点
可得原方程的根是
研究应用
基本应用
一元一次方程通常可用于做数学应用题,也可应用于物理、化学的计算。
如在生产生活中,通过已知一定的液体密度和压强,通过公式代入解方程,进而计算液体深度的问题。例如计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强,已知大气压约为100000帕斯卡,水的密度约等于1000千克每立方米,g约等于10米每二次方秒(10牛每千克),则可设水柱高度为h米,列方程得1000*10h=100000,解得h=10,即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。
问题举例
丢番图问题
希腊数学家丢番图的墓碑上记载着:
丢番图长眠于此,他的目标多么令人惊讶,它忠实地记录了他生命的轨迹:上帝给予的垂髫时光占六分之一,又过了十二分之一,髯须渐渐长出,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜,儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补,又过了四年,他也走完了人生的旅途。终于告别数学,离开了人世。
根据以上信息,算出:(1)丢番图的寿命;(2)丢番图开始当爸爸时的年龄;(3)儿子死时丢番图的年龄。
解法:设丢番图的寿命x岁;
解得x=84,
丢番图开始当爸爸时的年龄:
儿子死时丢番图的年龄:84-4=80
“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中的数学问题,其内容是:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何。” 译成现代汉语为:有若干只鸡和兔在同个笼子里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十四只脚。笼中各有几只鸡和兔?
该问题可用一元一次方程解决,解法如下:
解法:设鸡有x只,兔有只
由题意得:
解得:x=23
兔的数量 35-x=12
答:鸡有23只,兔有12只。
有限循环小数化为分数问题
利用一元一次方程可以将一个有限循环小数化为分数,以为例:
设,则
可算出
同时,该方法也可用来证明的问题。
价值意义
一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。如果仅使用算术,部分问题解决起来可能异常复杂,难以理解。而一元一次方程模型的建立,将能从实际问题中寻找等量关系,抽象成一元一次方程可解决的数学问题。例如在丢番图问题中,仅使用整式可能无从下手,而通过一元一次方程寻找作为等量关系的“年龄”,则会使问题简化。一元一次方程也可在数学定理的证明中发挥作用,如在初等数学范围内证明“0.9的循环等于1”之类的问题。通过验证一元一次方程解的合理性,达到解释和解决生活问题的目的,从一定程度上解决了一部分生产、生活中的问题。
参考资料
最新修订时间:2024-01-15 10:39
目录
概述
历史溯源
参考资料