6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。
8、 与 （m为实数）为离心率相同的椭圆。
9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。
10、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
切线法线
定理1：设F1、F2为椭圆C的两个
焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
解析几何法求证椭圆切线定理：
解：设C：（（x^2）/（a^2））+（（y^2）/（b^2））=1-----式1；
（a^2）-（b^2）=（c^2）；
F1（-c，0）；F2（c，0）；P（xp，yp）
AB：（y-yp）=k（x-xp）=>y=kx+（yp-kxp）；令m=yp-kxp=>AB：y=kx+m-----式2；
联立式1和式2消去y得：（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（x^2）+2kmx+（（m^2）-（b^2））=0；
因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：
4（（km）^2）-4（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（（m^2）-（b^2））=0=>m^2=（（ak）^2）+（b^2）；
m^2=（yp-kxp）^2=（（yp）^2）+（（kxp）^2）-2kxpyp=（（ak）^2）+（b^2）；
=>（（a^2）-（xp^2））（k^2）+2xpypk+（（b^2）-（yp^2））；
由根的判别式得：4（（xpyp）^2）-4（（a^2）-（xp^2））（（b^2）-（yp^2））=0；
所以k值有唯一解：k=（-2xpyp）/（2（（a^2）-（xp^2）））=-xpyp/（（a^2）-（xp^2））；
由式1得：（a^2）-（xp^2）=（ayp/b）^2=>k=-（xp（b^2））/（yp（a^2））；
m=yp-kxp=（（（ypa）^2）+（（xpb）^2））/（yp（a^2））=（（ab）^2）/（yp（a^2））=（b^2）/yp；
设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；
A0F1：（y-0）=（-1/k）（x+c）=>x+ky+c=0-----式3；
联立式2和式3消去y得：x=-（km+c）/（（k^2）+1）；
联立式2和式3消去x得：y= （m-kc）/（（k^2）+1）；
则：A0：（-（km+c）/（（k^2）+1），（m-kc）/（（k^2）+1））；
|A0F1|^2=（（m-kc）^2）/（（k^2）+1））；
同理：B0F2：（y-0）=（-1/k）（x-c）；
=>B0：（（c-km）/（（k^2）+1），（m+kc）/（（k^2）+1））；
|B0F2|^2=（（m+kc）^2）/（（k^2）+1））；
|PF1|^2=（（xp+c）^2）+（yp^2）；
|PF2|^2=（（xp-c）^2）+（yp^2）；
证明：若∠APF1=∠BPF2，则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似；
=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|
=>（|A0F1|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|PF2|^2）
=>（|PF2|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|A0F1|^2）
（（m+kc）^2）/（（m-kc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；-----式4
m+kc=（b^2）/yp-（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）-xpc）（b^2）/（yp（a^2））；-----式5
m-kc=（b^2）/yp+（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）+xpc）（b^2）/（yp（a^2））；----式6
把式5和式6代入式4得：
（（（a^2）-xpc）^2）/（（（a^2）+xpc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；
=>（（（a^2）-xpc）^2）（（（xp+c）^2）+（yp^2））=（（（a^2）+xpc）^2）（（（xp-c）^2）+（yp^2））
=>（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）+（（（a^2）-xpc）^2）（yp^2）=（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）+（（（a^2）+xpc）^2）（yp^2）
=>[（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）-（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）]=[（（（a^2）+xpc）^2）-（（（a^2）-xpc）^2）]（yp^2）
=>[（（a^2）-xpc）（xp+c）+（（a^2）+xpc）（xp-c）][（（a^2）-xpc）（xp+c）-（（a^2）+xpc）（xp-c）]=4xpc（ayp）^2
=>（2（a^2）xp-2（c^2）xp）（2c（a^2）-2c（xp^2））=4xpc（ayp）^2
=>4xpc（b^2）（（a^2）-（xp^2））=4xpc（ayp）^2
=>（b^2）（（a^2）-（xp^2））=（ayp）^2
=>（ab）^2=（（ayp）^2）+（（bxp）^2）
=>（（xp^2）/（a^2））+（（yp^2）/（b^2））=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得证。
光学性质
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的
透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
相关公式
面积公式
（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
证： 的面积，由于图形的对称性可知，只要求出第一象限的面积乘以4即可。
在第一象限 ， 令
周长
T为椭圆
系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
附椭圆系数简表：
椭圆与三角函数的关系
关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：
半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。
r：圆柱半径；
α：椭圆所在面与水平面的角度；
c：对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）；
以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f（c）=r tanα sin（c/r）的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。
离心率
椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0
e=c/a（02c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
椭圆的
焦准距：椭圆的
焦点与其相应准线（如焦点（c，0）与准线x=±a^2/c） 的距离为a^2/c-c=b^2/c
离心率与 的关系： 。
焦半径
焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。
过左焦点的半径r=a+ex。
焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey（F2，F1分别为上下焦点）。
椭圆的
通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，即|AB|=2*b^2/a。
几何关系
点与椭圆
点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1；
点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；
点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；
点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；
直线与椭圆
y=kx+m ①
x2/a2+y2/b2=1 ②
由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1
相切△=0
相离△<0无交点
相交△>0 可利用
弦长公式：设A（x1，y1） B（x2，y2）
求中点坐标
根据
韦达定理 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
代入直线方程可求出 （y1+y2）/2=可求出中点坐标。
|AB|=d = √（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2] = √（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]
应用
例如：有一个
圆柱，被截得到一个
截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的
母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆
例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
1．求椭圆C的方程.
2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.
3．在⑵的基础上求△AOB的面积.
一 分析短轴的
端点到左右
焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，
二 要求
面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的
平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2，-2.结合图形得m=-2.x=1.5，y=-0.5，p（1.5，-0.5），
三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4，
手工画法
手绘法一
（1）：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。
（2）：连接AC。
（3）：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。
（4）：以C为
圆心，CE为半径作
圆弧与AC交于F点。
（5）：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。
（6）：截取H，G对于O点的对称点H’，G’ ⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的
弹性较大画出来不一定准确。
手绘法二
椭圆的
焦距│FF'│（Z）定义，为已知椭圆所构成的长轴X（ab）与短轴Y（cd）则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{（Z/2）^2+（Y/2）^2}+Z=X+Z（平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a（2a>|FF'|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2（x>y>0）。Z两端点F、F'为定点。取有韧性且伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形
周长，以F、F' 为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。
手绘法三
环线长 。根据椭圆的图形特征，采用环线表示动点与焦点间的距离关系，形成统一的圆形环线作图法。具体方法简介：
（1）作图工具为笔、大头针、直尺和环形线。（环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线、一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力可以抽动，形成能收缩和放长的环形线）。
（2）在作图平面上作出各种圆形的定点和动点。
（3）将大头针分别直立、固定在定点上；
（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上；
（5）将画笔移动一周，即可作出各种圆的图形。
环线作图方法的最大特点，就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来，而不受焦点数目的影响，环线内可以容纳任意焦点数目，为探讨3个及其3个以上焦点数目的
多焦点圆提供有效方法。环线作图方法，属于连续移动作图法，适合不同大小的圆、椭圆和
卵圆等作图。
若用该方法画规定半长轴a和半短轴b的椭圆，则 ，环线长