形如a+bi（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位。复数通常用z表示，即z=a+bi，当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。

最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

16世纪意大利米兰学者卡尔达诺（Jerome Cardan，1501年~1576年）在1545年发表的《大术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596~1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应。从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646年~1716年）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而，真理性的东西一定可以经得起时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717年~1783年）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫弗（1667年~1754年）在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是虚构出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔（1745年~1818年）在1797年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

18世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可以看作平面上的一点。数年后，高斯再次提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早在1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出这个观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以当代的标准来看，也是相当清楚和完备的。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以此来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年，Buée的文章正式出版，同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章，而阿尔冈的复平面成了标准。1831年，高斯给出复数的几何意义解释，奠立了复数在数学中的地位。

复数吸引了许多著名数学家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、乔治·皮库克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。

德国数学家阿甘得（1777年~1855年）在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。1831年，高斯用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算“+”、“×”（记z1=(a,b)，z2=(c,d)）：

z1+z2=(a+c，b+d)

z1×z2=(ac-bd，bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有：

z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记i＝(0,1)，则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)=a+bi，i×i=(0,1)×(0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如的数称为复数（complex number），其中规定i为虚数单位，且（a、b是任意实数）

我们将复数中的实数a称为复数z的实部（real part），记作Re z＝a；实数b称为复数z的虚部（imaginary part），记作Im z＝b。

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣。

即对于复数，它的模。

对于复数，称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作。

在复平面上，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，而这一点正是“共轭”一词的来源——两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做“轭”。

如果用z表示x+yi，那么在字母z上面加上一条横线就表示它的共轭复数x-yi。

共轭复数有些有趣的性质：

在复变函数中，自变量z可以写成，r是z的模，即r=|z|；θ是z的辐角，记作Arg(z)。在区间[-π,π]内的辐角称为辐角主值，记作arg(z)（小写的Z）。

任意一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ≤π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作arg(z)。辐角的主值是唯一的。

指数形式：。

交换性（commutativity）　对所有α,β∈C都有α＋β＝β＋α，αβ＝βα。

结合性（associativity）　对所有α,β,λ∈C都有(α＋β)＋λ＝α＋(β＋λ)，(αβ)λ＝α(βλ)。

单位元（identities）　对所有λ∈C都有λ＋0＝λ，λ1＝λ。

加法逆元（additive inverse）　对每个α∈C都存在唯一的β∈C使得α＋β＝0。

乘法逆元（multiplicative inverse）　对每个α∈C，α≠0都存在唯一的β∈C使得αβ＝1。

分配性质（distributive property）　对所有λ,α,β∈C都有λ(α＋β)＝λα＋λβ。

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即。

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即。

除法法则

复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，

即（分母实数化）。

开方法则

若，则

（k＝0，1，2，3，…，n-1）。

运算律

加法交换律：z1+z2=z2+z1

乘法交换律：z1×z2=z2×z1

加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法则

i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1（n∈Z）

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ)，有z的n次幂zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]　（其中，n是正整数）

则

数学中，对“数量”的研究起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理数和无理数。

具体来讲：

由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数0、1、2、3、……，它是数学中一切“数”的起点。

由于自然数对减法运算不封闭（即：较小的自然数减去较大的自然数，其结果不是自然数），为了对减法运算封闭，我们将自然数扩充至整数；

由于整数对除法运算不封闭（即：一个整数不能被另一个整数整除，其结果不是整数），为了对除法运算封闭，我们将整数扩充至有理数；

由于有理数对于开方运算不封闭（即：有理数开正整数次方，其结果可以不是有理数），为了对开方运算封闭，我们将有理数扩充至一部分代数数。“代数数”定义为整系数（或有理系数）一元多项式方程的根，它包括一部分实数和一部分虚数。不是代数数的复数被称为“超越数”，例如π、e。另外，存在某些代数数，无法利用对有理数进行有限多步的四则运算与开方运算来表示，它们无法表示为关于有理数的代数形式。

另一方面，有理数对于极限运算不封闭，为了对极限运算封闭，我们又将有理数扩充到实数。从而，极限、微积分、无穷级数运算均可以良好操作。也就是说，将定义在实数域上的函数进行极限、定积分、多重积分、无穷级数、无穷积等运算，只要不发散，其化简结果都在实数范围之内。

最后，为了避免负数在实数范围内无法开偶数次方运算，我们将实数扩充到复数。复数是包含实数的最小代数闭域，我们对任意复数进行四则运算、开方，其化简结果都是复数。

由上述讨论可知，有理数与复数有两种划分方式：

数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类：

注：①②代表对“有理数”两种不同的分类方式。

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点位于右半平面，则因果系统不稳定；都位于左半平面，则因果系统稳定；位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：

其中，ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）

在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量（Metric）方程。

实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t)=e的基函数的线性组合表示。

复函数于流体力学中可描述二维势流（2D Potential Flow）。

一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集（Julia set）是建基于复平面上的点的。

我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x（y=0）时与相应的实变初等函数相同。

注意根据这些定义，在z为任意复变数时，

①哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来，

②哪些相应的实变初等函数的性质不再成立，

③出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。

ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)。

证明：把yi代入泰勒级数，借助和来化简即可；

同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)=(eix)lna。

借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理。