傅里叶变换是一个在数学、物理、计算机、工程等各领域均有广泛应用价值的数学运算。它由傅里叶级数推广而来，描述了函数中包含的不同频率的正弦或余弦函数的振幅。在特定的函数空间内，函数的傅里叶变换具有良好的性质，例如可以完成微分和多项式乘积的互化、函数卷积和乘积的互化等，从而可以用于解决偏微分方程、范数控制、证明不等式等。

对于满足条件的定义在上的函数，其傅里叶变换被定义为

其中是虚数单位；指数项中的为内积，对于，，有。函数的傅里叶变换被记为或，是定义在上的函数。本词条接下来将遵循该定义方式。

特别地，当时，是一个一元函数，此时其傅里叶变换为

需要注意，有时因为应用场景或个人习惯不同，在不同领域、不同文献中，傅里叶变换的定义之间会相差一些常数，例如有时在积分号前添加常数，在指数项中添加常数。这些差异会导致傅里叶变换的性质发生一些细节上的变化，例如一些公式会因此相差常数倍数。

傅里叶变换是可逆的。傅里叶逆变换被定义为

显然，傅里叶变换与傅里叶逆变换都是线性的。

从物理的角度来说，给定一个随时间变化的信号，对其作傅里叶变换，得到的即为该信号的频谱；变换前后分别从时间和频率两个方面描述了信号。傅里叶变换后，在某处的取值越高，说明信号含有该处对应频率的信号越多。

法国数学家傅里叶（Jcan-BaptisteFourier）在1822年发表的《热的解析理论》中，汇总了此前零散的三角级数方法，提出了“将任意函数展开为三角级数”的理论，并将其应用于热方程的求解。最初该方法用于分段连续的周期函数，并在后来拓展为定义在实数上的函数，由此引出了傅里叶变换。

傅里叶变换有着鲜明的物理背景：光、电、声等的波形的傅里叶变换即为其频谱。物理意义与实际的联系使得傅里叶变换的理论得以应用于各种学科。

傅里叶变换一般在下列函数空间中考虑。

该函数空间的定义如下：

对于绝对可积的函数，其傅里叶变换是一个连续函数，且在无穷远处的极限为零。这一结果被称为黎曼-勒贝格定理。

定理1 如果，那么其傅里叶变换

因此，绝对可积函数的傅里叶变换是具有充分意义的。

在空间中的函数的傅里叶变换具有更好的性质，该函数空间的定义为：

其中的为函数在空间下的范数。类似地有空间：

空间中的傅里叶变换是一个连续、等距、可逆的映射。

平方可积函数空间本身是一个希尔伯特空间(Hilbertspace)，而三角函数系给出了其上的一组正交基，故其上的傅里叶级数与傅里叶变换更早被提出和研究。

定理2 空间在中稠密

这意味着平方可积但不绝对可积的函数可以由一族中的函数列逼近，其傅里叶变换可以由此延拓至空间。

在空间中的傅里叶变换满足普朗歇尔公式（Plancherel Formula）：

定理3 对于，其傅里叶变换，且

平方可积函数空间中的傅里叶变换还满足帕塞瓦尔公式（Parseval Formula）：

定理4 如果，那么它们的内积与傅里叶变换的内积满足

如果利用，那么可以合理将傅里叶变换推广至空间中，再用对偶的方式推广至空间中的傅里叶变换。

施瓦茨(Schwartz)空间又称速降函数空间，其定义为：

其中为光滑（任意阶可导）函数空间。显然，故在施瓦茨空间上的傅里叶变换的定义是合理的。事实上该包含关系是稠密的，所以傅里叶变换可以由此延拓至更广的空间。

定理5 在中稠密

傅里叶变换是施瓦茨空间上的一个等距的线性自同构。

缓增函数空间是施瓦茨空间的对偶空间，其内任意一个元素都是一个广义函数。对于给定的，其上的傅里叶变换被定义为：

对于任意的，有：

傅里叶变换也是缓增函数空间上的一个线性自同构。

部分重要函数的傅里叶变换如下：

例1 函数

的傅里叶变换。

解：由傅里叶变换的定义：

这表明高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数。

例2 函数

的傅里叶变换。

解：由傅里叶变换的定义：

两函数的图像如图所示：

例3 满足

的广义函数的傅里叶变换。

解：由傅里叶变换的定义：

所以脉冲函数的傅里叶变换是常数。

例4 函数

的傅里叶变换。

解：在中考虑，由傅里叶变换的定义，对于任意有

例5 函数

的傅里叶变换。

解：此时

故由例4可知

类似地，对于

有

一般意义上的函数的傅里叶变换具有如下性质。事实上对于广义函数这些性质也成立，但证明略去。

定理6 傅里叶变换与其逆变换满足

证明：对于任意的函数，有

从而说明了前面定义的“傅里叶逆变换”确实是傅里叶变换的逆。

定理7 傅里叶变换与其逆变换满足

证明：对于任意的函数，有

该性质有一条自然的推论：任意函数作四次傅里叶变换后即为它本身。

定理8 傅里叶变换与其逆变换满足

证明：对于任意的函数，有

定理9 当时，傅里叶变换与其逆变换满足

证明：对于任意的函数，使用次分部积分法即有

这意味着傅里叶变换可以实现“求导”和“多项式乘积”之间的转换。

两个定义在上的函数和的卷积被定义为

定理10 傅里叶变换与其逆变换满足

证明：对于任意的函数和，有

这意味着傅里叶变换可以实现“卷积”和“乘积”之间的转换。

称定义在上的函数为径向函数，如果存在上的函数满足

径向函数的取值与自变量模长有关，与方向无关。

定理11 径向函数的傅里叶变换仍为径向函数

证明：假设为径向函数，对于任意的正交变换，有

那么其傅里叶变换满足

傅里叶变换无论是在数学上还是其它学科中，都有着非常广泛的应用。

傅里叶变换可以用于解函数方程，这包括了波方程、热方程、色散方程等著名的偏微分方程。

例6 对于任意给定的和，给出积分方程

的解的表达式。

解：注意到方程中卷积的形式，从而原方程表达为

作傅里叶变换后

于是可知：

定理12 对于上的函数，有

该式被称为泊松求和公式，其在数字信号处理领域有重要的应用，蕴含了对信号“采样”时的规律。

例7 求级数

的值。该问题又被称为“贝塞尔问题”（Basel Problem），有许多种不同的解法。这里使用泊松求和公式解决该问题。

解：取函数

由泊松求和公式可得

从而

于是

下面这个与傅里叶变换有关的不等式又称海森堡不确定性原理。

定理13 对于复值函数，如果

并定义

那么有

等号当且仅当为恰当的高斯函数时取到。

该不等式在物理中有广泛的实际的物理意义。例如，信号的带宽与持续时间的乘积不小于某个最小值；量子力学中用波函数来描述物体的位置，其傅里叶变换可用于描述物体的动量，它们也满足该不等式的约束。

给出该不等式的证明如下：

由分部积分法和柯西-施瓦茨不等式，该函数满足

再由普朗歇尔公式（定理3）和分部积分法可得

于是即得

借助傅里叶变换将时域信号变为频域信号，有助于从杂乱无章的信号中提取信息。

此外，可以借助傅里叶变换，经由滤波等操作，对信息进行加密。

在实际中处理信号时，经过采样，只能得到一系列的离散点而非一个处处均有取值的函数；如要利用计算机得到实际的数值结果，也只能对离散的一系列采样点进行计算。为了处理这种情形，可以使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）产生类似的效果。DFT的公式为

其中的数量为在每个抽样间隔的循环里测量的频率。

快速傅里叶变换（Fast FourierTransform，FFT）通过递归地将DFT分解为更短的DFT，可以更快地实现原始的功能，其运算的复杂度为，而上述DFT的运算复杂度为。

同时，FFT的算法还可以用于计算多项式乘法、大数乘法等。

将傅里叶变换中指数项的实变量改为复变量，就是拉普拉斯变换（Laplace Transform）。对于定义在上的函数，其拉普拉斯变换的定义式为

其中是复变量。

与傅里叶变换类似，该定义也可能随着使用需求和个人习惯的不同而发生变化，例如有时将积分区域改为正实数，有时在积分后额外乘以保证一些特定情形下变化后函数的连续性。

拉普拉斯变换相较于傅里叶变换的明显优势在于可以对更多函数进行变换，从信号中提取出更多的信息，但拉普拉斯变换的物理意义不如傅里叶变换明显。

对广义函数也可以作拉普拉斯变换。其理论在数学上被解释清楚前，就已经被广泛投入电气领域的使用。