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C*代数

数学名词

C*代数是巴拿赫代数中的一种特殊代数。

简介

非交换C*代数对应拓扑空间的非交换推广，对非交换C*代数的分类对应代数拓扑的非交换推广。单C*代数完全由其K理论确定。

定义

C*代数是一个巴拿赫*代数，且关于中每个元a满足

性质

以下设为C*代数。

对中每个元a有,

且

同构于的C*子代数

若含单位元，则中任意自伴元x的谱为实的。

若含单位元，B为的C*子代数且含有中单位元。则对B中任意点x，。

若为上另一个巴拿赫代数的范数，且满足。则。这说明一个含对合的复代数只有最多一种方法构造C*代数。

设为交换代数，则中元为正规元。故谱半径r(x)=。

的*同态的范数最多为1。

例子

设为希尔伯特空间，以算子的伴随为对合，上有界算子的集合的子代数若关于范数与对合也是闭的，则为C*代数，称为算子C*代数；

上紧算子的集合为C*代数，但当为无限维时，不含单位元。

若X为紧豪斯多夫空间，以函数的共轭为对合，X上连续函数集C(X)为C*代数；

若(X,Ω,μ)为σ有限测度空间，以函数的共轭为对合，L∞(X,Ω,μ)为C*代数。

若X为非紧的局部紧空间，以函数的共轭为对合，X上在无穷远消失的连续函数集C0(X)为不含单位元的C*代数。

理想与商代数

设A为C*代数，J为A的理想。

1.A为自伴元。

2.商代数A/J为C*代数。

表示

C*代数A的表示为*同态。

定义La:A→A为La(x)=ax。定义为ρ(a)=La。则ρ为左正则表示。

若π有平凡零空间，则称为非退化表示或忠实表示。若无非平凡不变子空间，则称为不可约表示。

设ξ为C*代数的子空间M的一个矢量，若M=[ξ]，则M称为循环子空间，称为循环表示。则为非退化表示，当且仅当能分解为正交循环子空间族。