循环表示是一类简单的酉表示。任一酉表示是循环表示的直和。

设A为巴拿赫*代数，A在希尔伯特空间H上的一个表示π称为循环表示，若存在H中向量ξ，满足π(A)ξ为H的稠子集。

循环表示是一类简单的酉表示。

设 (π，H) 是局部紧群G的一个酉表示，若存在，使得生成的子空间在H中是稠密的，则称π为循环表示，v称为π的循环向量。

任一酉表示是循环表示的直和。

(unitary representation of topological group)

拓扑群的酉表示是拓扑群的一类重要表示。局部紧、豪斯多夫群 G 的酉表示是G有一个希尔伯特空间 H 上的表示 𝞹 ，而且满足：对任意 x∈G，𝞹(x) 是 H 的酉算子。当 G 为紧群时，对 G 的任一有限维表示 (𝞹,V) 都可以在 V 中引入新内积使𝞹 成为酉表示，其中可取 V 中任一个埃尔米特内积。因此，紧群的表示可以归结为酉表示。

群的酉表示是联系群论与其它众多数学分支的重要工具，其中就包括泛函分析尤其是𝐶*-代数理论。自20世纪20年代起，该理论首先被广泛应用于量子力学领域。作为该领域的先驱之一，George Mackey在20世纪40-60年代发展了酉表示的一般理论，使其研究对象扩展到一般的群𝐺而不是仅仅针对某些应用的特殊群。