循环子空间(cyclic subspace)是一类特殊的子空间，指由一个向量与一个线性变换确定的子空间。设V是域P上的n维线性空间，σ是V上的线性变换，若0≠ξ∈V，则存在k使ξ，σ(ξ)，…，σk-1(ξ)线性无关，但ξ，σ(ξ)，…，σk(ξ)线性相关，由ξ，σ(ξ)，…，σk-1(ξ)生成的子空间L，称为σ循环子空间，ξ，σ(ξ)，…，σk-1(ξ)称为L的σ循环基。特别地，当L=V时，V称为循环空间(关于σ的)，记为V=L(ξ)σ，而σ称为循环变换.，V的线性变换σ是循环的充分必要条件是它的最低多项式(也称最小多项式)的次数为n=dim V，若V=L(ξ)σ，ξ的最低多项式为f(λ)=λn-an-1λn-1-...-a0，则循环变换σ关于基ξ，σ(ξ)，…，σk-1(ξ)的矩阵，恰是f(λ)的相伴矩阵。

设V是域F上线性空间， 是V的一个(固定)线性变换，设 ，而W是含α的最小不变子空间，那么W至少应含 ，故W至少应包含多项式对α的作用象

而另一方面， 显然已是不变子空间，故知 。

定义1 (1)设 ，则 称为α生成的 的循环子空间(cyclic subspace)(这是含α的最小不变子空间)。(2)若V中有向量α使 ，则称V是循环空间，称α是V的循环向量。

为了查明 的大小，要查明有哪些多项式 化α为0，即

这样的多项式 称为α的零化子或零化多项式(annihilator)，α的次数最低的首一零化多项式 称为α的最小零化子。容易证明零化多项式恰为最小零化子的多项式的倍，最小零化子可按以下方法求得。依次查

可求得正整数k使得 线性无关而 线性相关，即有 使

即

其中

于是 是α的零化多项式，若 是α的零化多项式，而

则

所以 ，若 ，则 ，这与 线性无关矛盾，故 ，即 。

定理1 设V是域F上n维线性空间， 是V的线性变换，固定 ，记α生成的循环子空间为

(1)若 线性无关，而 线性相关，设为

则

是α的最小零化子；

(2) 的维数为是 ，且

是W的基。

(3) 在上述基下的方阵表示为 的友阵

特别地， 的最小多项式 、特征多项式 及α的最小零化子 三者相等，即

证明 (1)已证。

(2)已证明 线性无关，只要再证明 中任一向量均可由它们线性表出，已知

两边同以 作用，可得 能由它们表出，如此递推可知 可由它们表出。

(3)显然， 的方阵为 ，由友阵的性质即知 。

注记 定理1的抽象证明：考虑线性映射 ，即

其核 由 的倍全体组成：

故由线性映射基本定理有

左端的基是 ，故右端的基是 。