奥马·海亚姆(Omar Khayyam，1048—1122)1048年5月15日生于生于霍拉桑名城尼沙浦尔。(今伊朗东北部一省)，1122年12月4日卒于内沙布尔。他是波斯诗人，又是数学家、天文学家和哲学家。

奥马尔·海亚姆的全名是吉亚斯丁·阿布·法斯·奥马尔·本·伊卜拉欣·内沙布里（Ghiyāth Dīn abu’l－Fath‘Umar ibn Ibrāhīm Nīsābūrī）．从他的名字可以知道他的家族大致情况①．父亲是伊卜拉欣，有一个儿子名法斯，奥马（‘Umar也拼作Omar）是他自己的名字，吉亚斯丁（Ghiyāth Dīn）原意是“信仰的帮助”，是后来获得的尊称，内沙布里表明他来自内沙布尔或籍贯是内沙布尔．西方人更多地称他为奥马尔海亚姆或海亚米（Khayyāmī），“海亚姆”是制造或经营帐篷的职业，说明他的父亲或祖辈是从事这种工作的．

奥马尔出生之前，西亚地区政局动荡不安．11—12世纪，塞尔柱（Seljuk）土克曼人（Turkmen）在那里建立一个庞大但不稳固的军事帝国，占有两河流域和波斯、叙利亚、巴勒斯坦、格鲁吉亚、亚美尼亚等地．奥马尔早年在家乡受教育，以后成为一名家庭教师，生活是清苦的，没有很多闲暇去从事科学研究．奥马尔在他的《代数学》中写道：“我不能集中精力去学习这种‘代数学’，时局的变乱阻碍着我，……．”尽管如此，奥马尔仍然写出了颇有价值的《算术问题》（Problems of arithmetic）和一本关于音乐的小册子．

1070年左右，奥马尔来到撒马尔罕（Samarkand，今属乌兹别克斯坦）．在当地统治者阿布·塔希尔（Ab&T1hir）的庇护下，奥马写成他的主要代数著作《还原与对消问题的论证》。

（Ris1la fi’l－bar1hīn‘al1 mas1’il aljabr wa’l-muq1bala，Treatise on demonstration of problems of algebra and almuqa－bala），简称《代数学》．不久，他又接受塞尔柱苏丹（Sultan，最高统治者的称号）贾拉勒丁·马利克沙（Jalal Dīn Malik shah，1055—1092）和他的大臣尼扎姆·穆勒克（Nizam Mulk）的邀请，前往伊斯法汗（lsfahan，今伊朗西部），管理那里的天文台，进行历法改革．他在那里工作了18年之久．这是他一生中最安谧的日子．

1092年，政治气候突变，马利克沙去世，庇护人尼扎姆·穆勒克遭到暗杀，奥马尔备受冷遇．马利克沙的第二个妻子图尔坎·哈通（Turk1n－Kh1t&n）接替执政二年，对奥马尔很不友善，撤消了天文台的资助，研究工作被迫止，历法改革半途而废．奥马尔虽已失去昔日的恩宠，但仍留在塞尔柱的宫廷里，尽力劝说马利克沙的继承者重新支持天文台和开展一般的科学研究．他描述波斯古代的统治者宽宏大量，尊重学者，致力于兴办教育，发展科学，为文化事业立下不朽的功勋．

奥马尔始终未能说服当权者．1118年，马利克沙的第三子桑贾尔（Mu‘izz Dīn Sanjar，1084？—1157）登上王位．奥马尔离开伊斯法汗，到塞尔柱帝国的新首都梅尔夫[Merv，今马雷（MapЬI），属土克曼斯坦]．他和弟子们一起写了《智慧的天平》（Balance of wisdoms）等书，研究如何利用金属比重去确定合金的成分，所用方法是纯粹代数的．这问题源出于阿基米德的研究．

奥马尔是一个渊博的科学家，但在西方却以诗人而闻名．他写了很多四行诗（quatrain），其中透露出无神论的自由思想．这在他的一生中导致很多麻烦．晚年的时候，他甚至到麦加去朝觐，力图洗刷人们对他的无神论的指控．

奥马尔在伊斯法汗期间，领导一批天文学家编制天文表，为了纪念庇护人，定名为《马利克沙天文表》（Zīj Malik-sh1hī，Maliksh1hAstronomical Tables），现在只有一小部分流传下来，其中包括黄道坐标表和100颗最亮星的星表等．

天文台更重要的工作是进行历法改革．波斯地区自古以来就使用阳历，公元前1世纪施行琐罗亚斯德教（Zoroaster，中国史称祆教、拜火教）的阳历，定一年为365天，分12个月．萨珊王朝（公元226—621年）定阳历为官历。阿拉伯人征服这个地区以后，实行伊斯兰教的阴历．这种历分一年为12个月，6个大月，6个小月，大月30天，小月29天，全年354天．闰年增加一个闰日成为355天，30年加11个闰日．阴历一年和实际的回归年365.2422日相差约11天，因此和四季是不合拍的，这对农业很不方便．奥马尔时代，波斯人继续使用传统的阳历，但因置闰的方法不精，渐渐产生误差．有识之士看到，历法要符合天时，必须进行根本的改革．

马利克沙执政后，在伊斯法汗兴建天文台，聘请以奥马尔为首的一群天文学家去完成改革的任务．奥马尔提出在平年365天的基础上，每33年365.2422 日仅相差19.37秒钟，积4460年才差1天．而现行的公历（格里历）400年置97个闰日，历年长365.2425日，3333年差1天．

值得注意的是，如将0.2422展成连分数，可知各个渐近分数是128年差1天．第2个分数是29年7闰，1218年差1天．根据有理逼近的理论，比奥马尔闰法（33年8闰）更精密的闰法有95年23闰，1万年以上才差1天．如果限定周期小于95年，那么33年8闰就是最佳的选择．这表明奥马尔有较高的理论水平．他以1079年3月16日为历法的起点，定名为“马利克纪元”（Malik9era）或“贾拉勒纪元”（Jal1l9 era）．可惜改历工作随着领导人的死亡而夭折．

伊斯兰教的阴历主要用于宗教，它最大的缺点是和寒暑完全脱节，夏天有时在1月，有时在6月．而奥马尔改革后的阳历和四季是一致的．他对此颇感欣慰，曾作四行诗以咏其事：

啊，人们说我的推算高明，

我曾经把旧历的岁时改正——

谁知道那只是从历书之中

消去未生的明日和已死的昨晨．

高次方根

奥马尔在《代数学》一书中写道：“印度人有他们自己的开平方、开立方方法，……我写过一本书，证明他们的方法是正确的．我并加以推广，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．这些代数的证明仅仅以《几何原本》的代数部分为根据．”

这里所说他写的书可能就是《算术问题》．莱顿大学藏有奥马著作的手稿，但只有《算术问题》的封面，内容已遗失．

奥马所了解的“印度算法”，实际来自两本较早的书．一本是吉利（Kushy1ribn Labb1n al－J9l9）的《印度计算原理》（Princi-ples of Hindu reckoning）；另一本是奈塞维（‘Al9 ibn Ahmadal－Nasaw9）的《印度计算必备》（Things sufficient to understandHindu reckoning）．然而这些书所记述的开平方、开立方法和印度文献所载的相去颇远，倒是和中国古代的方法密近．中国的《九章算术》早已给出开平方、开立方的完整法则，并推广用于方程的数值解．伊斯兰数学很可能受到中国直接或间接的影响，因为自古以来丝绸之路就是中国和中亚的交通要道．不过由于他们使用了10个印度数码，于是被误认为“印度算法”．

在现存的阿拉伯文献中，最早系统地给出自然数开高次方一般法则的是纳西尔丁·图西（Nasir Din Tusi，也称图斯）编纂的《算板与沙盘算术方法集成》（Collection on arithmetic by meansof board and dust）．他没有指出发明者，但他非常熟悉奥马尔的工作，故很可能来自奥马尔．

解三次方程

中世纪的阿拉伯数学家对圆锥曲线作了很多探索．最值得称道的是奥马尔海亚姆用圆锥曲线来解三次方程．这种方法可以溯源于希腊的门奈赫莫斯（Menaechmus），事实上他就是为了解决倍立方问题（相当于三次方程x3=2a3）而发现圆锥曲线的．后来阿基米德在《论球与圆柱》（On the sphere and cylinder）卷2命题4提出这样的问题：用一平面把球截成两部分，使这两部分的体积成定比．这问题导致三次方程

x2(a-x)=bc2．

解法的要点是求两条圆锥曲线的交点，一条是双曲线(a－x)y=ab，另一条是抛物线ax2=c2y．

阿基米德的“平面截球问题”引起阿拉伯数学家的极大兴趣．巴格达的马哈尼（al－M1h1nī）最先试图用代数方法去解，但没有成功．后来哈津（AbūJa1cfar al－Kh1zin）用圆锥曲线来解．研究这问题的还有库希（al－Kuhi）、伊本·海塞姆（Ibn al－Haytham）、艾布尔·朱德（Abu’l Jud）等．

奥马的功劳，在于考虑了所有形式的三次方程．由于他只取正根，系数也只限于正数，因此三次方程有各种不同的类型．他将一、二、三次方程归结为25类，属于三次方程的14类：缺一、二次项的x3=a；缺二次项的3类：x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次项的3类：x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺项的7类：x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．

每一类都给出几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根．奥马在《代数学》中，专门阐述了方程的几何解法．1851年，F．韦普克（Woepcke）将此书从阿拉伯文译成法文，书名为《奥马海亚姆代数学》（L’algèbre d’Omar Alkhayyāmī）．以后又有D．S．卡西尔（Kasir）英译校订本《奥马海亚姆代数学》（The algebra of Omar Khayyam，1931）．下面取出其中的一个例子，用现代术语和符号来分析奥马的方法（文献[1]， p．75）．

要解的方程是

x3+ax=b．⑴

按照希腊人的观点，将一个数看作一个线段，那么两个数之积就是矩形，三个数之积是长方体．同维数的量才能相加，所以先将方程改成齐次的形式

x3+c2x=c2h．⑵

右端c2h表示一个以c，c，h为边的长方体．

用解析几何的语言来说，方程⑵的根就是抛物线

x2=cy(3 )

和半圆周

y2=x(h-x)⑷

交点的横坐标x．因为从⑶，⑷两式消去y，就得到⑵．

此题在原书中是第6章第1题，完全用文字叙述，没有方程的形式．方程⑵表述为“立方与边（根）等于一个数”．解题的步骤是：以BO=h为直径作半圆BPO，作AOD⊥BO，以O为顶点，OA=C为参数”（正焦弦）作抛物线POQ交半圆周于P．作PD⊥AD，PE⊥BO，则PD就是⑵的根（图1）．

事实上，记PD=x，PE=y，在半圆内，

PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x)，

根据抛物线的性质，

PD2=x2=OA·PE=cy，

这正是⑶，⑷两式．

奥马曾探索过三次方程的算术（代数）解法，但没有成功．他在《代数学》中写道：“对于那些不仅含有常数项、一次项、二次项的方程，也许后人能够给出算术解法”．经过几百年的努力，三、四次方程的一般代数解法直到16世纪才由意大利数学家给出，五次以上方程的可解性问题到19世纪才解决①．

几何代数学

奥马发展了欧几里得的几何代数学，使几何与代数更紧密地联系起来，这是一项重要的贡献．可惜在1851年韦普克的译本出现之前，欧洲人几乎完全不知道他的工作（尽管在18世纪已有一些零星的介绍）、否则解析几何的发现和推进会更加迅速．

用现代的观点看，如果引入负数并承认负根，三次方程可以写成统一的形式

x3+ax2+b2x+c3=0，⑸

不必如此烦琐地分类．以

x2=py⑹

代入⑸，得到

pxy+apy+b2x +c3=0．⑺

⑹是抛物线，⑺是双曲线．作出这两条线，交点的横坐标便是⑸的根

研究《几何原本》

奥马在欧几里得几何的研究方面有两项贡献，一是对平行公设的试证，二是对比与比例提出新的见解．

早在9世纪，当欧几里得《几何原本》传入伊斯兰国家后，第五公设就引起学者们的注意．所谓第五公设或平行公设就是在《原本》中提出的公理：“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同旁内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交．”这公设不论在词句或内容方面都比其他四个公设复杂得多，而且也不那么显而易见．人们自然会发生是否可以证明的疑问．

伊斯兰学者对此公设进行试证的有焦哈里（Jawharī），萨比特·伊本·库拉（Thābit ibn Qurra），伊本·海萨姆（Ibn Haytham，即hazen），奥马尔海亚姆等人．实质上他们并没有证明了公设，而是采用另外一与之等价的公设来代替它．

奥马尔在1077年撰写了《辩明欧几里得公设中的难点》（Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid）一书，讨论了两个难题，一是平行公设，二是比的问题．他考察四边形ABCD，DA与CB同垂直于AB且DA=CB（图2）．无需用平行公设，很容易证明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三种可能：⑴等于直角；⑵等于钝角；⑶等于锐角．若采用平行公设．可以证明∠C，∠D等于直角．反之，若能证明∠C，∠D等于直角，便可推出平行公设．奥马用反证法，“证明”钝角、锐角假设必导致矛盾，因此只有直角的情形成立，这就无异证明了平行公设．但他的证明是有缺陷的，实际是引入下述假设来代替平行公设：两条直线如果越来越接近，那么它们必定在这个方向上相交．所以他也未解决平行公设问题．

18世纪时，G．萨凯里（Saccheri）重新研究这个四边形（后人常称之为“萨凯里四边形”），由此得出一系列互不矛盾的命题．他和前人虽然未建立（也未意识到）非欧几何，但已为非欧几何的诞生铺平了道路．

比与比例

比与比例也是奥马研究的中心问题．早在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派就建立过比例论，不过只限于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在正整数m，n，使得mA=nB，则

就是一个数．但若A，B不可公度，他们便认为A与B无法相比．这样就很难建立一切量的比例论．欧多克索斯（Eudoxus of Cni－dus）为了摆脱这一困难，另立“比”的定义：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”．接着定义“比例”：设有A，B，C，D4个量，A与C，B与D分别乘以同样的倍数m，n，如果

则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D．

欧多克索斯采取这一定义是煞费苦心的，这样可回避无公度的麻烦，由此出发完成了适用于一切量的比例论．欧几里得将欧多克索斯的理论编入《原本》成为卷V．伊斯兰学者并不怀疑比例论的真理性，而是对其立论的出发点即比例的定义持有异议．最先提出新定义的是马哈尼（al－M1h1n9），他的思路可用现代术语表述如下：将A/B及C/D展开成连分数，A/B=(q1，q2，…，qn，…)，C/D=(q′1，q′2，…，q′n，…)，其中qi，q′i(i=1，2，…)是各个偏商．如果qi=q′i(i=1，2，…)则称A，B，C，D成比例，即A/B=C/D．马哈尼认为这定义能更好地揭露比例的本质．它适用于可公度量与不可公度量，在可公度的情况，n是有限的．

奥马论证了这种定义和《原本》中比例定义的等价性，进而研究比及比例的若干性质，对伊斯兰数学和西方数学都有重要的影响．

另一方面，希腊人虽然承认无公度的两个量A，B有比，但始终不承认A/B是一个数（即无理数），这就大大妨碍了数学的发展．奥马勇敢地冲破这一桎梏，主张扩大数系，将无公度量的比接纳在内．例如2的平方根，圆周长与直径的比等等，应该考虑为一种新的数．这在思想上是一次不寻常的飞跃，是建立实数系的先声．然而直到19世纪才真正实现了他的理想．

四行诗

四行诗很像中国的绝句，每首四行，第一、二、四行押韵．奥马尔究竟写了多少首四行诗，没有准确的数字．剑桥大学图书馆藏有最早的（1208年）手抄本，收入252首．而在他名义下出版的波斯文诗集多达1069首．但有人考证只有一百多首确实是他作的．1859年，英国诗人菲茨杰拉德（Edward Fitz Gerald）将75首译成英文，取名“Rubáiyát of Omar Khayyam”，广为流传．郭沫若于1928年将英译本译成中文，题名《鲁拜集》．（鲁拜是阿拉伯语，意为四行诗．）

奥马尔曾写过几种哲学著作，他的四行诗也包含很多哲理，其中表露的思想相当复杂．很难作出一致的评价．一方面，诗作的可靠性问题众说纷纭；另一方面，在官方的示意下有时很难畅所欲言．因此对他的议论褒贬不一，毁誉参半．总的来说，他不囿于伊斯兰教所宣扬的真主创造世界的观点，对窒息学术探讨的社会环境表示不满．正统的穆斯林不喜欢他，但广大读者爱读他的诗，从中得到启迪，进而探索人生的真谛．后人为了纪念他，1934年由多国集资，在内沙布尔为他修建了一座高大的陵墓．