在数学中，范畴（category），是一种包含了对象及对象之间箭头的代数结构。范畴具有两个基本性质：一是对象之间的箭头可以复合，且复合是满足结合律的；二是每个对象到自己有一个单位箭头。一个简单的范畴例子是由集合构成对象，集合间的映射看做箭头。一般来说，对象和箭头可以是抽象的任何类型，范畴的概念提供了一个基本而抽象的方式去研究数学中的对象及其关系的方法。

一个有向图𝒞，是由以下要素组成：

（1） 一些对象（通常用大写字母 等表示）构成的一个类 ；

（2）由所有的集合 构成的族，这里 取遍 中的所有对象。中的元素 称为从 到 的态射（morphism），记为 ；

（3）对于 中任意三个对象 ，存在二元算子 ，称为态射的复合，记 和 的复合为 或 。对中任意对象 ，有单位运算A→idA，其中称为单位态射。

有向图为范畴，若下面的公理成立：

（i）（结合律）如果有 ， 和 ，则 ；

（ii）（单位律） 对任意的 ，有 ，且对任意的 ，有 。

范畴𝒞中的一个态射 被称为同构，如果存在一个态射 ，使得 ， 。这时，我们也称对象A和B是同构的。

小范畴为对象类是一个集合的范畴。一个范畴 被称为基本小（essentially small），如果它的对象的同构类是一个集合。显然小范畴总是基本小的。

离散范畴为态射为单位态射的范畴。

幺半群为只有一个对象的范畴。

群为每个态射在复合下都是可逆的幺半群。

一个广群是一个范畴，满足其中任意态射都是同构。

任意一个偏序集构成一个范畴，对象是中的元素，存在一个从到的态射当且仅当 。恒等态射和态射的复合由偏序的自反性和传递性给出。这是一个小范畴。

任一幺半群都会形成一个具单一个对象 的小范畴（此处的x是任一个固定的集合）。从至的态射恰好是幺半群的元素，且其态射复合由幺半群的运算所给定。幺半群令态射绝不可能为函数，唯一从单元素集合x至x的函数为当然函数。可视范畴为广义化了的幺半群；一些和幺半群有关的定义和定理也可能可以义广化成范畴的定义和定理。

任一有向图都会产生一个小范畴：其对象为图的顶点，态射为图中的路径，而态射复合则为路径的串接。这被称之为由图产生出的“自由范畴”。

若I是一个集合，“在 上的具体范畴”会是个小范畴，其对象为的元素，而态射则只有单位态射。当然，其态射复合的公理是必然满足的。

任一范畴 皆可以另一种方式被视为是一个新的范畴：其对象和原范畴的一样，但态射则和原范畴相反。这被称之为对偶范畴，标记为 。

若 和 为范畴，可形成一“积范畴” ：其对象为由 和 内的对象所组成的对，且态射亦为由 和 内的态射所组成的对。这些对的态射复合是由各元素各自复合。

每一范畴都可由其对象、态射和态射复合来表示。

集范畴Set，对象为所有小集，其态射为集合间的映射，而态射复合则为一般的映射复合。

（下列皆为具体范畴的例子，即在集合上加入一些结构，且要求态射为对应于此附加结构的函数，态射复合则为简单的一般函数复合。）

Set*，对象为带基点的集合，态射为保基点的映射。

预序范畴，对象为所有预序关系的范畴，态射为单调函数；

MatrK，对象为所有正整数，态射为矩阵元取值于K的矩阵。

原群范畴，对象为所有原群，态射为原群同态。

Mon，对象为所有小幺半群，态射为幺半群同态。

群范畴Grp，对象为所有小群，态射为群同态；

阿贝尔群范畴Ab；对象为所有小阿贝尔群，态射为群同态。

环范畴Rng，对象为所有小环，态射为(保持单位元的)环同态。

CRng，对象为所有小交换环，态射为环同态。

左R模范畴R-Mod，对象为环R上的小左模，态射为线性映射。

右R模范畴Mod-R，对象为环R上的小右模，态射为线性映射。

K-Mod，对象为交换环K上的小模，态射为线性映射。

拓扑空间范畴Top，对象为所有拓扑空间，态射为连续映射；

Toph，对象为所有拓扑空间，态射为连续映射的同伦类。

Top*，对象为所有带基点的空间，态射为带基点映射；

度量空间范畴，对象为所有度量空间，态射为度量映射；

一致空间范畴，对象为所有一致空间，态射为一致连续函数；

光滑流形范畴，对象为所有光滑流形，态射为 次连续可微映射；

Cat，对象为所有小范畴，态射为函子；

Ab-cat，对象为所有小预加性范畴，态射为加性函子。

Cob(D+1)，对象为D维闭流形，态射为D+1维配边。

所有集合的范畴，态射为关系。

1.若范畴的态射集合Hom(a,b)是加性交换群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预加性范畴，或Ab-范畴。阿贝尔群范畴Ab，左R模范畴R-Mod，右R模范畴Mod-R都是预加性范畴。

如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和余积，那么我们称之为加性范畴。

如果更进一步地，所有态射都有核和余核，并且每个满态射都是余核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是交换群范畴。

2.范畴是完备的当其保持所有极限。集合、交换群、拓扑空间的范畴都是完备的。

3.范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 和 ，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。

4.拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。