流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

n维流形的概念，在J.L.Lagrange的力学中已经初见端倪，十九世纪中期，已经知道n维Euclid空间是n个实变量的连续统，但是一般n维流形的概念是B.Riemann研究微分几何学时引进的，他是用归纳法进行构造的。正如曲线的运动形成曲面一样，n维流形是把无限多个（n-1）维流形按照一维流形方式放在一起而形成的。流形的拓扑结构的研究与其局部理论的研究是同时开始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人应用的是解析方法，但是，Poincaré为了摆脱这种方法的困难与不利之处，将n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维Euclid空间同胚的邻域，并对之进行研究，从而开辟了组合拓扑学的道路。

在n维欧几里得空间中，由定义的半空间用表示。豪斯多夫空间M，当每点p具有与或同胚的开邻域U(p)时，称为n维拓扑流形。U(p)≈（同胚）的点p的全体∂M称为流形M的边缘，其补集称为M的内部，∂M=Φ的流形称为无边缘流形。

n维流形M的边缘∂M是n-1维无边缘流形。紧的无边缘的连通流形称为闭流形，非紧的无边缘的连通流形称为开流形。存在连通的但非仿紧的拓扑流形。一维的这种流形称为长直线。

圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1，圆心在原点的圆（单位圆）。若x和y是平面上的欧式坐标，那么单位圆的方程就是。

单位圆的任意一点附近的一小段都像一条线。而线是一维的图形，我们只要一个坐标就可以标记这一小段上的一个点。例如单位圆在x轴上方的半圆上的任何一点都可以用x坐标确定。所以，存在双射Xtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(−1, 1)：。

这样的一个函数称为一个局部坐标卡（local coordinate chart）。类似的，单位圆的下半圆，左半圆，右半圆上也有相应的坐标卡。这四个半圆可以覆盖整个单位圆，我们称对应的四个局部坐标卡组成这个单位圆的一个坐标图集（atlas）。

注意上部和右部的坐标卡的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:。

这样的函数称为变换映射（坐标变换）。

从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。

上面这四个坐标卡和它们之间的坐标变换说明单位圆是一个流形。但在单位圆上还可以有其他的坐标卡和坐标图集。考虑坐标卡 和。这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率；t是镜像对称，其中心点为(1,0)。s到(x,y)的逆映射为。

我们很容易确认对于所有斜率值s成立。这两个坐标卡提供了圆周的又一个图集，其变换函数为

。

注意每个坐标卡都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个单位圆。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的坐标卡可以覆盖整个单位圆；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。

流形不必是连通的（整个只有一片），所以两个不相交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限，所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。

但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成8字形）的例子；切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集。

拓扑流形：拓扑流形为最容易定义的流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间（或上半欧式空间）的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到（）。这些同胚是流形的坐标图。

微分流形：微分流形也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。