王世强，教授。1927年3月30日生于直隶（今河北）石家庄，2018年2月3日逝世。1948年毕业北平师范大学数学系。建国后，历任北京师范大学副教授、教授。1985年加入中国共产党。专于数理逻辑和代数，倡导模型论的研究。从计算机科学、多值逻辑和模糊逻辑发展背景中提出格值模型论，并将模型论应用于代数方面，研究一些命题间的相对和谐性和独立性。“模型论与判定问题”的研究1986年获国家教委科技进步奖一等奖。撰有《关于合同关系的可换性》、《格值模型论中的省略型定理》、《一些三次数环的具有及不具有Goldbach性质的扩环》等论文。

王世强于1927年3月30日生于河北省石家庄市，祖籍河北省深县相家庄（现划归衡水市）。父亲王经春是中国银行职员，母亲耿月秋是家庭妇女。他自幼在家中受到父母的启蒙教育，学习识字、算术及阅读儿童读物。7岁时在河北省定县住过半年多，在那里受到教育家晏阳初“平民教育”试验的影响，学习过“中华平民教育促进会”编写的一些宣扬民族精神的教材。他上学较晚，9岁时入初小4年级插班，那时对他印象较深的主要是抗日救亡的爱国教育以及初步的科学教育。

他刚刚读完小学5年级；跟随父母逃难，在沦陷后的天津市法租界读完小学，然后于1939年辗转迁徙到抗日战争后方的甘肃省。他于1942年在甘肃武威中学初中毕业后，去酒泉河西中学高中部肄业两年，于1944年以同等学历考入兰州西北师范学院数学系。

他于1946年转入北京师范大学（当时名北平师范学院）数学系，1948年毕业留校。

1949年9月 任北京师范大学数学系讲师。1956年9月任副教授，1979 年任教授，1981年被评为博士研究生导师。

北京解放后，他继续留校工作至今。他于1949年升任讲师，1956年升任副教授，1977年4月 应邀为纽约科学院成员。

1979年升任教授，1981年被评为博士生导师。他多年来对本科生及研究生讲授过代数及数理逻辑方面多种课程，并作了不少科研工作。他至今已培养了硕士18人，博士11人。1979年至今 兼任《中国科学》、《科学通报》编委。

他于1985年3月加入中国共产党，曾在校内3次被评为优秀党员。

据他回忆，在他的成长过程中，曾受到很多位师长及学友的教益。其中特别是（按时间先后）受到李恩波、段学复、傅种孙、张禾瑞诸位老师的教育和影响。关于这方面的情况，他在一篇自述性文章中有较详细的记述。认为这是在我国数学发展中一个容易被忽略的重要侧面。

他在数学学习及科研中的主要兴趣是在代数和数理逻辑方面，特别是数理逻辑对数学的应用方面。他对数理逻辑方法在数学研究中的作用有一种很强的信念，这在上述他的文章中也有较详细的论述。

在学术交流活动方面，他除了曾多次参加国内的专业会议外，在“文化大革命”前就参加过一些接待外国专家的活动（如A.I.马尔采夫（Malcev），L.考尔马（Kalmár）等）。自从我国实行改革开放政策以来，他又多次参加国内外的国际性专业会议以及出国访问和邀请外宾来访等。1977年，他又应邀加入纽约科学院，愿意进一步为发展国际学术交流及推进跨分支、跨学科的研究事业而努力。

总述

自20世纪50年代以来，王世强在格论、泛代数、逻辑演算、格值模型论及模型论的代数应用等方面已发表论文40余篇，在美国的《数学评论》（《Mathematical Reviews》，以下简称MR）中有评介的30余条。

格论及泛代数方面

在他1955年以前的4篇论文中，解决了G.伯克霍夫（Birkhoff）《Lattice Theory》（1948年第2版）中的问题31，64，103及一个猜想；部分解决了问题32，72。在1964年发表的论文中，他部分解决了该书“代数前言”中一个待解问题。具体结果如：

问题31的解答：有限拟群上任意两个同余关系都是可交换的。对于每个无限基数α，都有基数为α并且具有不交换同余关系的拟群和圈存在。

问题103的解答：可以将实数偶构成的有序加群造成几种类型的有序环。

问题72的部分解答：在可补格L上所有同余关系构成一个布尔代数的充分必要条件是：L的每个中立理想格都是主理想格。

以上结果段学复等人曾作过介绍，并被G.伯克霍夫（Birkhoff），杨宗磐，L.富克斯（Fuchs），G.格莱策（Grtzer）等在专著中引用。

逻辑演算方面

他改进了希尔伯特-戈特林德（Hilbert-Gtlind）的命题演算公理体系。这一结果有文章介绍过，在《数学评论》中也受到王浩的好评。他在两篇文章中给出了关于延时电路演算的两个简洁公理体系，对逻辑电路的理论研究有一定意义。这两篇文章发表于“大跃进”期间，流传不广（因限于其中的符号非专业人士不熟悉，不在此详述）。

格值模型论方面

他与吴望名等合作对格值逻辑进行研究，这是对前人多值逻辑研究的推广。后来又发展为模型论性质的研究，是对前人布尔值模型理论的推广。他在1980至1982年发表了3篇文章是关于格值模型论的一批基础性概念、方法及定理。这些工作，后来被沈复兴等多人继续作了较系统的发展。

他曾在国内外学术会议上介绍这方面的工作，并谈到其理论意义及在计算机科学方面的实际意义。可参看他的综述文章及在IEEE会议文集中论文。此外，他还有一批未出版的讲稿。（因限于符号及图表，不在此详述。）

模型论的代数应用之一

他在3篇文章中，用模型论及数论方法证明了：对每个二次代数整数环及某些三次代数整数环，都存在适合哥德巴赫（Goldbach）性质的扩环，也存在不适合哥德巴赫性质的扩环。从而表明了哥德巴赫猜想对这些环的理论在一种弱意义下的独立性。对于孪生素数猜想，也得到了类似的结果。他对上述各种扩环的其他数论性质作了一些探讨。

构作这些扩环的基本思路是：考虑上述任一数环I的某些剩余类环，由于它们是有限环，所以易于判断哥德巴赫性质对之是否成立。如果能找到I的无限多个适合此性质的剩余类环，则可构作它们的一个适当的超积J，使J成为Ⅰ的扩环。又由于哥德巴赫性质是1阶逻辑语言中的命题，所以由模型论中的超积基本定理可知J也适合哥德巴赫性质。对于哥德巴赫性质的反面以及孪生素数命题及其否定命题，也都可沿着类似思路构作出I的相应扩环。但对于孪生素数偶的有限性或无限性，由于不是1阶性质，所以需要对相应的超积作适当论证。（另外，在有了适用的无限多个剩余类环之后，也可不用超积而用模型论中的紧致性定理来证明这些扩环的存在性。）

王世强在3、4方面的工作，曾与罗里波、沈复兴、卢景波的工作一起，获得国家教委1986年度科学技术进步奖一等奖，项目名称为《模型论与判定问题》。

模型论的代数应用之二

他在前人工作基础上，结合模型论方法，给出了代数闭域上希尔伯特零点定理的一些推广形式。例如一种形式是：

定理 设C为复数域，P为由C上可数无限多个不相关不定元x1，x2，x3，…生成的多项式环。对于P的任一非空子集П，下列诸性质互相等价：

（Ⅰ）П中全体多项式在C中有公共零点。

（ⅡⅡ）П中全体多项式在C的一个扩域中有公共零点。

（Ⅲ）对П中任何有限多个多项式p1，…，pk及P中任何g1，…，gk都有g1p1+…+gkpk≠1。

（Ⅳ）П中任何有限多个多项式都在C中有公共零点。

（V）П在P中生成的理想J≠P。

（Ⅵ）I[V（П）]≠P。

（Ⅶ）设П在P中生成的理想为J，则Rad（J）≠P。

（Ⅷ）П能扩张为P的理想为J1并使V（J1）只含1个点。

他将前人关于任意域上无限线性方程组可解性的定理在不可数域时推广到可以包括高次不等式组的情况，这样可便于讨论线性代数中例如方阵的非异性等问题。

作为这些结果的应用，他在一些文章中讨论了有关域上无限方阵的问题。例如证明了下列的两个平方和定理。

定理 设F为一有限域或为一不可数代数闭域，则F上每一无限方阵M都能表示为两个特殊形状无限方阵的平方和：M=A2+B2，其中A=（aij）及B=（bij）适合aii=0，ai，i+1=1，ai，i+j+1=0，bi+1，i=1，bi+j+1，i=0（i，j=1，2，3，…）。

模型论的代数应用之三

他利用模型论方法，并对域上某些无限维向量引入“无限线性相关”的概念，给出了任意域上行列有限方阵M（即：每行及每列都只含有限个非零元的无限方阵，以下简称rcf方阵）存在各种逆方阵的充分必要条件。例如：

定理 任一域F上rcf方阵M具有rcf双侧逆方阵的充分必要条件是：M的诸行及诸列都是无限线性无关的。（以下称此种M为rcf可逆的。）

在此基础上，他解决了任意域上rcf方阵M在等价变换下的对角化问题，给出了M可对角化的充分必要条件及可对角化rcf 方阵的完全分类。大意如下：

设F为任一域，M，N为F上的rcf方阵，如果存在F上rcf可逆的rcf方阵P、Q能使PMQ=N，则称M与N等价（易知这是一等价关系）。

例如，对任何自然数m、n，令Dmn=（dij）为如下的对角方阵：

dm+i，n+i=1，其他dij=0，i，j=1，2，3，…，

则F上rcf方阵与Dmn等价的充分必要条件是：“在M的行向量中，有一个极大线性无关组Sr，它含有无限多行而在Sr之外有m行，并且Sr是无限线性无关的；同时，M的列向量也适合类似的条件（把m换为n）”。

这项分类的成果相当突出地显示了rcf方阵与有限矩阵在性质上的很大差异。

F上的rcf方阵并不都是可对角化的，例如，易证下列方阵N=（nij），其中

nii=n＞ii+1=1，其他nij=0，i，j=1，2，3，…就是不可对角化的。

对国外一些重要独立性结果的介绍

王世强有一个很强的信念，就是：数理逻辑方法在某些数学问题的研究中具有重要作用。他认为，由于数理逻辑是用数学方法对数学中的逻辑思维以及模型、集合、算法、证明等基本概念进行深入研究的学科，所以它必然会在数学研究的某些场合起到不同于常规数学思维及方法的特殊作用，并且这种作用在不少情况下是不可能被代替的。为了宣传国外在这方面的一类重要成果，他曾邀请杨守廉共同撰写了《独立于ZFC的数学问题》一书，在其中介绍了数学中一批已被证明的独立性结果，例如可换群论中的怀特海（Whitehead）问题，巴拿赫（Banach）代数方面的卡普兰斯基（Kaplansky）问题等。当我们对反映朴素集合论的ZFC公理体系增补了不同的新公理之后，这些问题可以有完全不同的答案，因而它们是不可能只用朴素集合论来解决的。这正像当年非欧几何出现时的情况一样。

此书在美国“数学评论”中受到好评，被认为是在集合论应用方面“最有趣的中文著作之一”。此书并在1995年获得国家教委优秀学术著作奖。

王世强生于旧社会，经历过抗日战争和解放战争时期，对于帝国主义的侵略和旧社会的黑暗深有感受。解放后通过学习马列主义、毛泽东思想和亲身体会，更认识了“没有共产党就没有新中国”、“只有社会主义才能救中国”的道理。1958年入党后，通过进一步学习邓小平建设有中国特色的社会主义的理论，更坚定了走社会主义道路的信念和共产主义理想。

在道德风范方面，他经常注意严格要求自己，以严肃态度对待人生、对待工作和科学事业，防止庸俗化的倾向。他并且体会到这几方面是有内在联系的。例如，他很欣赏控制论创始人N.维纳（Wiener）的下列一段话：“学者的纪律是献身于追求真理。这包括愿意作出这种献身所要求的实际牺牲……然而，这个纪律基本上是内在的，属于人和科学本身的关系，而不是人对于科学在其中展开的那个外部环境的反应。”

1 王世强.命题演算的一系公理.数学学报，1952，2（4）：267-274

2 王世强.关于合同关系的可换性.数学学报，1953，3（2）：133-141

3 王世强.实向量所成的有序环.数学学报，1955，5（1）：65-80

4 王世强.有限级有序加群及有序环的表现.数学学报，1955，5（4）：425-432

5 王世强.一种逻辑电路演算的初步构作.北京师范大学学报，1959，（4）：1-8

6 王世强.一种逻辑电路演算的构作.北京师范大学学报，1960，（1）：7-15

7 王世强.关于代数系统的自同构群的一个注记.数学进展，1964，7（2）：213-218

8 王世强，吴望名.可补格按恒Ⅰ式集分类的问题（Ⅰ）.北京师范大学学报，1964，（2）：125-133

9 王世强，翁稼丰.一些多值狭义谓词演算中的标准形.北京师范大学学报，1980，（2）：19-23

10 王世强.格值模型论中紧致性定理的一种证法.北京师范大学学报，1980，（3-4）：25-30

11 王世强，卢景波.格值模型的超积基本定理.科学通报，1981，26 （2）：71-74

12 王世强.格值模型论中的省略型定理.数学学报，1982，25（2）：202-207

13 王世强.一类具有Goldbach性质的可换环.北京师范大学学报，1982，（1）：17-22

14 王世强，武涛.二次数环的不具有Goldbach性质的扩环.北京师范大学学报，1982，（3）：21-25

15 王世强.一些三次数环的具有及不具有Goldbach性质的扩环.中国科学，1984，（1）：16-23

16 王世强.一种Goldbach可换环的数论性质.中国科学，1984，（3）：210-216

17 王世强，沈复兴，岳其静.一些Goldbach及非Goldbach可换环的数论性质.北京师范大学学报，1984

18 王世强.模型论基础.北京：科学出版社，1987

19 Wang Shiqing. Some studies on lattice-valued model theory. Advances in Science of China (Mathematics), 1988, 2: 73—78

20 Wang Shiqing. A survey of some results in lattice-valued model theory.Proceedings of the 18th International Symposium on Multiple-Valued Logic, 1988, 129—133

21 Wang Shiqing. Inductive rings and fields. Annals of Pure and Applied Logic, 1989, 44: 133—137

22 王世强.Hilbert零点定理的推广.科学通报，1989，（20）：1523-1525

23 王世强.无限维复仿射空间的Hilbert零点定理.北京师范大学学报，1990，（2）：1-5

24 王世强.格值模型论概述（一）.南京大学学报增刊，1990，40-46

25 王世强.不可数域的一个紧致性定理.北京师范大学学报，1992，（2）：136-140

26 王世强，杨守廉.独立于ZFC的数学问题.北京：北京师范大学出版社，1992

27 王世强.关于域上无限方阵的逆方阵.北京师范大学学报，1993，（3）：327-330

28 Wang Shiqing.On the diagonalization of row-column-finite matrices.北京师范大学学报，1997，33（3）：321-327