线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。
简介
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。
线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定
约束条件的线性方程组问题。
定义
称为
系数矩阵和
增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非
零解。若
常数项均为0，则称为
齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是：
①一个方程组何时有解。
②有解方程组解的个数。
③对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩（A）=秩（增广矩阵）；若秩（A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；多元一次方程组消元法或
克莱姆法则求解。
当
非齐次线性方程组有解时，解唯一的
充要条件是对应的
齐次线性方程组只有
零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的
导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。
克莱姆法则（见
行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一
齐次方程组的解集均构成n维空间的一个
子空间。
解法
①
克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是
系数矩阵的
行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用
逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和
常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
②矩阵
消元法.将线性方程组的
增广矩阵通过行的
初等变换化为行简化
阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中
单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。
关于未知量是一次的方程组，其一般形式为
式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的
系数，bi（i≤m）称为
常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。
当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为
齐次线性方程组。
称为方程组⑴的
系数矩阵。在A中添加由
常数项组成的列而得到一个m行n+1
列矩阵如果在方程组⑴中，以一组复数或域F的元素с1,с2，…，сn代替未知量x1，x2，…，xn，每一个方程的两端相等，那么с1，с2，…，сn称为方程组⑴的一个解。
关于线性方程组，有以下主要结果。
①线性方程组⑴有解的
充分必要条件是，
系数矩阵A与增广矩阵都有相同的秩。
②在A与都有相同的秩r>0的情形下，A有一个r阶子式D不等于零，设
于是方程组⑴与仅含有前r个方程的方程组同解。可将前r个方程改写为
方程组⑵的一般解公式为 x1=D1/D,x2=D2/D，…，xr=Dr/D， ⑶
式中Dj(j=1,2，…，r）是把D的第j列换成方程组⑵的右端的列所得到的一个r阶
行列式，即
因而x1,x2，…，xr可由其余的未知量xr+1,xr+2，…，xn线性表出，xr+1，xr+2，…，xn称为自由未知量。
当r
线性方程组是最简单也是最重要的一类
代数方程组。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。