拟共形映射，又称拟保角映射，原本是复分析中的一套技术手段，现已发展为一套独立学科。该理论在椭圆型偏微分方程中占有重要地位。这一理论在研究有理函数的迭代、调和分析和弹性等方面已经成为一个有价值的工具。

拟共形映射又称拟保角映射，原本是复分析中的一套技术手段，现已发展为一套独立学科。其定义如下：

固定实数 K > 0。设 D,D' 为平面上的开子集，连续可微函数 保持定向。若在每一点上其导数 将圆映至离心率小于等于 K 之椭圆，则称 为 K-拟共形映射，由此可见共形映射是 1-拟共形映射。

若存在 K 使 为拟共形映射，则称 为拟共形映射。

拟共形映射的定义也可以延伸至较高维度或非连续可微的情形

在定义区域内把每一微小圆映成微小椭圆的映射，是共形映射的推广。如果所映成的椭圆的长轴与短轴之比在定义区域内恒不大于K，则此映射为K-拟共形映射。在可微点处， 与 满足不等式 。这种映射较共形映射的条件弱，但保留着共形映射多种性质，灵活而便于应用。

最早提出这类新映射的是H.格勒奇(1928)，他为了叙述与证明皮卡定理的一个推广而引进这类新映射。他同时给出了伸缩商概念，它可以度量这类新映射与熟知的共形映射的偏差程度。М.Α.拉夫连季耶夫(1935)，L.V.阿尔福斯(1936)又分别从偏微分方程与函数论的角度研究了这类新映射。这样，拟共形映射这个术语开始出现。

拟共形映射的概念不能仅限于可微的情形，因为可微的拟共形映射类缺乏紧性。在这个概念的演变过程中，形成为分析的与几何的两种定义形式；这二者最终又统一了起来(1957)。

分析定义：对于平面上的复值可测函数μ(z),μ(z)是本性有界的， 以M(z)为系数的贝尔特拉米方程

在 中的弱正则同胚解ƒ,称为K- 拟共形映射，其中 。对于上述的μ(z)，方程(1)必存在一个同胚解。如果还有另外一个解g，则F=g☉ƒ必是解析的，此时g=F☉ƒ。因此，如要求(1)的全平面的同胚解且保持0、1、∞为不动点，则这样的解是唯一的，称为方程(1)的基本同胚。存在定理的证明有一个长的历程，并有许多证法。最简单的证法是借助于考尔德伦－赞格蒙理论而获得的(1957)。最早的证明应该属于C.B.莫利(1938)，只是因为术语与重点的不同才掩盖了他的工作与这一理论的联系，而这种联系是L.伯斯在1957年发现的。

几何定义用了极值长度概念。设Г 是平面上一族局部可求长弧，ρ是平面上的正值可测函数，并且

设ƒ是域内一个正向同胚映射，如果λ（f☉Γ） K λ （Γ）对该域内任一族曲线Г 成立，则ƒ 是一个 K- 拟共形映射。这是K-拟共形映射的几何定义。因为极值长度是不受维数限制的，所以几何定义可以进行形式推广而形成高维拟共形映射。这方面的工作只初具规模。

当K=1即k=0时，贝尔特拉米方程退化为柯西－黎曼方程；而式(2)则意味着极值长度乃是共形映射下的不变量。1-拟共形映射恰好是共形映射。

设ƒ(z)是把|z|<1映成|w|<1(ƒ(0)=0)的K-拟共形映射，则ƒ(z)可扩张为|z|≤1到|w|≤1的同胚映射,而且有偏离估计 这是用参数表示法获得的一个精细估值。这种映射还满足赫尔德条件：这个条件说明，这个映射族有紧性。设ƒ(t)把实轴映成实轴，存在一个把Imz≥0映成 Imw≥0，且以ƒ(t)为边界值的K- 拟共形映射的充要条件为， 对一切实数x与t成立，式中ρ是一个仅与K有关的实数。

如果 则以μ(z)为系数的贝尔特拉米方程的基本同胚ƒ(z)，在略去关于ε 的高阶项以后，可以表示为 这个近似表示是变分公式的精致化，在研究极值问题时有许多应用。极值问题一开始就支配着拟共形映射理论。对于通常由几何和拓扑条件规定的映射族，要求在族中求得一个映射ƒ，它的最大伸缩商取得最小值。由于紧性，极值映射必存在，但解不一定是唯一的，即使是唯一的，也还有一个如何描述和分析这个解的问题。拟共形性是一种局部性质,所以可在黎曼曲面上推广,而上述极值问题仍然有意义。在紧黎曼曲面情形下，泰希米勒断言，在一个指定的映射的同伦类中，极值映射是存在的，而且是唯一的。极值映射如不是共形的，则除有限个点外，在每一点附近都是一个共形映射、一个仿射变换与另一个共形映射的复合。这些，就是对极值问题的基本结果、泰希米勒定理的直观描述。

拟共形映射理论，在椭圆型偏微分方程中占有重要地位。这个理论，在黎曼曲面的研究中，特别富有成果。如黎曼曲面的模问题、单值化问题等都由于这一理论的影响而获巨大的进展。近些年来，人们发现这一理论在研究泰希米勒空间、克莱因群、有理函数的迭代、调和分析和弹性等方面已经成为一个有价值的工具。