{temp = first + second;
first = second;
second = temp;}
return temp;
}
}
例 1 ：一个
饲养场引进一只刚出生的新品种
兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只?
分析：这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有
以下是引用片段：
u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……
以下是引用片段：
u n = （u n - 1） × 2 （n ≥ 2）* ①
对应 u n 和 u n - 1 ，定义两个迭代变量y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：
以下是引用片段：
y=x*2
x=y
让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：
以下是引用片段：
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 ：阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 2 20 个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴?请
编程序算出。
分析：根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到 45 分钟后充满
容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴 2 20 个”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2 20。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2 20 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。
设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有
以下是引用片段：
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 （n ≥ 1）
因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，如果定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推
公式转换成如下的迭代公式：
x=x/2 （x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2 20）
让这个迭代公式重复执行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下：
以下是引用片段：
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
例 3 ：验证
角谷猜想。日本数学家
角谷静夫在研究
自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数1。人们把角谷静夫的这一发现叫做“角谷猜想”。
要求：编写一个程序，由
键盘输入一个自然数n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。
分析：定义迭代变量为 n ，按照角谷猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ；当 n 为奇数时， n=n*
3+1。用 QBASIC 语言把它描述出来就是：
以下是引用片段：
if n 为偶数 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量n 最终变成自然数1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为：n=1。参考程序如下：
以下是引用片段：
cls
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
loop
end
应用实例
迭代法是用于求方程或
方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为
f(x)=0，用某种
数学方法导出等价的形式x=g（x），然后按以下步骤执行：
⑴ 选一个方程的近似根，赋给变量x0;
⑵ 将x0的值保存于变量x1，然后计算g（x1），并将结果存于变量x0;
⑶ 当x0与x1的差的
绝对值还大于指定的精度要求时，重复步骤⑵的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
以下是引用片段：
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0;
x0=g（x1）； /*按特定的方程计算新的近似根*/
} while (
fabs(x0-x1）>Epsilon);
printf（“方程的近似根是%f
”，x0);
}
迭代算法也常用于求方程组的根，令
X=(x0，x1，…，xn-1）
设方程组为：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
以下是引用片段：
{ for (i=0;i
x=初始近似根；
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);
} while (delta>Epsilon);
for (i=0;i
printf（“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x);
printf（“
”）；
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种
可能发生的情况：
⑴ 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
⑵ 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
① N 为兔子的个数， M为月份 （N+N*1）^M-1=2N^M-1 （注解）