设T是
巴拿赫空间E上的
有界线性算子，如果T的
像是闭的，且T的
核与
余核均为有限维，则称T是弗雷德霍姆算子。弗雷德霍姆算子的集合记为𝓕(E)。
设E为巴拿赫空间，𝓑(E)为E上有界算子集合，𝓚(E)为E上
紧算子集合，𝓑(E)/𝓚(E)为E上
卡尔金代数，π:𝓑(E)→𝓑(E)/𝓚(E)为
商映射，若π(T)为𝓑(E)/𝓚(E)的可逆元。则T为弗雷德霍姆算子。
如果算子T的像是闭的，而dim(kerT)和dim(kerT*)中至少有一个有限，则称T为
半弗雷德霍姆算子。对于
巴拿赫空间上的线性算子也有类似概念。
巴拿赫空间E的有界算子T的
本质谱σe(T)为π(T)的谱。σe(T)为σ(T)的紧子集。
T的
指标为i(T)=dim(kerT)-dim(kerT*)=dim(kerT)-dim(cokerT)。
设H为有限维可分
希尔伯特空间，𝓕(H)为𝓑(H)的
开子集，且指数映射i:𝓕(H)→ℤ诱导出从𝓕(H)的连通分支到ℤ的一一对应。
设是从
线性赋范空间到的
线性算子。 如果当存在且有限，则称是有界线性算子，也就是说将中的每个有界集
映射为中的有界集。此处|表示范数，表示中定义的范数，表示中定义的
范数。