分类空间_在纤维丛理论中起关键作用的一类空间

分类空间

在纤维丛理论中起关键作用的一类空间

分类空间是在纤维丛理论中起关键作用的一类空间。任意拓扑群 G 的分类空间总是存在的。分类空间的确切含义由分类定理得到体现。

简介

分类空间是在纤维丛理论中起关键作用的一类空间。分类空间是针对于拓扑群而言。

定义

定义1

设ξ为B上n阶向量丛，γn,k为格拉斯曼流形Gn,k上的n阶万有丛，当l足够大时，存在映射f:B→Gn,l，满足ξ≅f*γn,l。Gn,l称为分类空间，f称为分类映射。

定义2

设G是一个拓扑群，且设为G的万有丛（universal bundle），即它是以G为结构群的主G丛，其中全空间EG是一个典型的可缩空间且G在其上的作用是自由的，且底空间BG恰为G在EG上作用的轨道空间。

若该万有丛具有分类性质，即对任何一个CW复形X 即其上的一个主G丛ξ ，存在一个连续映射，称为示性映射，使得X上的主G丛ξ恰为丛的诱导丛，则称BG为G的分类空间。BG在同伦等价下是唯一的。

具体构造

设G是一个拓扑群。

设En(G)=Gn+1，Bn(G)=Gn，pn:Gn+1→Gn为到前n个坐标的投射。则p*是单纯空间的映射。若让G以右乘作用在En(G)的最后一个坐标，则E*(G)为单纯G空间。而Bn(G)可看成是轨道空间En(G)/G。定义

E(G)=|E*(G)|，B(G)=|B*(G)|，p=|p*(G)|:E(G)→B(G)

则B(G)称为G的分类空间。

性质

若G为拓扑阿贝尔群，则E(G)与B(G)亦为拓扑阿贝尔群。

由于EG可缩，则纤维化的长正合列表明，当q≥0时，πq+1(BG)≅πq(G)。

若G为连通李群，K为其极大紧子群，则。

拓扑群的分类空间

任意拓扑群G的分类空间总是存在的。

分类空间BG是一个道路连通的拓扑空间，其基本群同构于G，而高维的同伦群都是平凡群。分类空间的确切含义由分类定理得到体现。

若E为可缩空间，则(B,E)为G的分类空间。

分类定理

分类定理：设G是一个拓扑群，且 X 是一个 CW 复形，则以X为底空间的主G丛的等价类全体的集合PrinG(X)与从 X 到 BG 的连续映射的所有同伦类的集合一一对应，即

当X为Sn时，则

参考资料

最新修订时间：2024-03-19 15:56

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