设𝓑(H)是无限维希尔伯特空间H上有界线性算子全体构成的冯·诺伊曼代数，𝓚(H)为H上的紧线性算子全体，𝓚(H)是𝓑(H)中惟一非零按算子范数闭的真双侧理想，商代数𝓑(H)/𝓚(H)称为卡尔金代数。

卡尔金代数是有单位元的C*代数。

设𝓑(H)是巴拿赫空间H上有界线性算子全体构成的冯·诺伊曼代数，𝓚(H)为H上的紧线性算子全体，𝓚(H)是𝓑(H)中唯一非零按算子范数闭的真双边理想，商代数𝓑(H)/𝓚(H)称为卡尔金代数。

令π为𝓑(H)到𝓑(H)/𝓚(H)的商映射，则对T∈𝓑(H)，π(T)是𝓑(H)/𝓚(H)中可逆元当且仅当T是弗雷德霍姆算子。记σe(T)=Sp(π(T))，称σe(T)为T的本质谱，它是算子紧扰动理论的重要概念。

C*代数是一类重要的巴拿赫*代数。设R是巴拿赫*代数，如果对R的每个元都有||x*x||=||x||2成立，则称R为C*代数。

C*代数是盖尔范德（部分与奈玛克合作）等于20世纪40年代提出并做了系统而精美的研究，它在抽象调和分析、量子物理等领域中有重要作用。

单位元(英文常写作Identity Element，即IE)是集合里的一种特别的元，与该集合里的运算（可理解为实数里的*，但并不局限于）有关。当它和其他元素结合时，并不会改变那些元素。也叫幺元（么元）。若a*e=a，e称为右单位元；若e*a=a，e称为左单位元，若a*e=e*a=a，则e称为单位元。若该演算左右的元素能互换，左、右单位元相同，可称为双边单位元。