1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的
函数值（例1）
某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张
奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的
函数关系表示为：
某商店卖
西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下（包括4kg），则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 以上，则销售价格为0.8元/kg，那么，一个西瓜的
销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为，0
分段函数题型
由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。
例1作出函数的图像。
分析：(根据北师大版32页例题2)
这个分段函数有三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两边各是一条射线，中间是一条线段。
分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和
表达式在同一
坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且
横坐标相同之处不可有两个以上的点。
例2 已知函数f(x)= 求f(3)的值。
解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(
3+2)=f(5),
又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).
又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。
求分段函数的
函数值的方法：先确定要求值的
自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。
解：当-2≤x≤a时，x2 的取值有三种情形：
（1）当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4 ；
(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4 ；
(3)当a>2时,有0≤x2≤a2
当x>a时，-|x|的取值有两种情形：
（1）当-2≤a<0时，有-|x|≤0,
（2）当a≥0时，有－|x|<-a 。
（1）当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4] ；
（2）当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4]；
（3）当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]
求分段函数的
值域的方法：分别求出各段函数在其
定义区间的值域，再取它们的并集即可。
（1）f(x)= （2）f(x)=
解：（1）∵当x>0时，-x<0, f(x)=ex ,f(-x)=-e-(-x) =-ex ,
即有f(x)=-f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=-f(-x)
(2)∵当x=0时，f(0)=f(-0)=0 ,
当x>0时，-x<0,f(x)=x(1-x) ,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x) ,
即有f(x)=f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=f(-x).
判断分段函数的
奇偶性的方法：先看
定义域是否关于
原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是
奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。
函数的单调性
解：当x≥0时，f(x)=-x2+4x
-10 ,它是开口向下，
对称轴为x=2的
抛物线的一部分，因此f(x)在区间[0，2]上是增加的，在区间(2,+∞)上是减少的；当x<0时，f(x)=-x2-4x-10 ，它是开口向下，对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的。
分段函数的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其
定义区间的单调性即可。
求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、
公式法和
作图法。
定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0
当2kπ-π
f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,
即有f(x+π)=f(x) ，同理可证：当2kπ
有f(x+π)=f(x) ，所以f(x) 的
最小正周期是π。
公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R ， （k∈z）
x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx <0 ,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx ≥0 .
∴f(x)=|sinx|= =
所以f(x) 的最小正周期T= =π
作图法:作出函数f(x)的图像如图2
所示。
由图2知f(x) 的最小正周期是π。 图2
求函数的最大（小）值的方法有：
解：∵函数f(x)=
log2 x 在[1,8]是增加的，
最大值是f(8)=3,
最小值是f(1)=0。又∵函数f(x)=x+2 在[-8,1)是增加的，最小值是f(-8)=-6且f(x)<3。
∴综上，得函数f(x) 的最大值是3 ，最小值是-6。
求某条件下自变量的范围
例8 函数f(x)=
解：（1）当x0≤-2时，f(x)=x0<-3 ， 此时不等式的解集是
（-∞，-3） ；
（2）当-2
（3）当x0≥4时，f(x0)=3x0 <-3 ， 此时不等式的解集是 .
所以则x0的取值范围是（-∞，-3）。
求某条件下
自变量的范围的方法：先假设所求的解在分段
函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可。
求自变量的值
例9 已知函数f(x)= ,若f(a)=2 ,则实数a的值是______.
解：（1）当a≤-3时，f(a)=3a =2 ,3a ≤3= ，此时方程无解；
（2）当-3
（3）当a≥4时，f(a)= =2 ,解得 a=4 ,
∴实数a的值是a=-2 或a=4 。
求某条件下
自变量的值的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解，再求它们的并集即可。
求函数的表达式
例10 求
二次函数f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2在[0，1]上的最小值g(a)的
解析式。
解：二次函数f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2=[x-(2a-1)]2+a2+1
图像开口向上，对称轴是x=2a-1 .
(1)若2a-1<0即a< 时，如图10-1所示
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=f(0)=5a2-4a+2 ；
（2）若0≤2a-1<1即 ≤a<1时,如图10-2所示
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=f(2a-1)=a2+1；
（3）若2a-1≥1即a≥1时,如图10-3所示
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=f(1)=1-2(2a-1)+5a2-4a+2
=5a2-8a+5 .
综上所述，
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=
求分段函数的表达式的常用方法有：
待定系数法、数形结合法和
公式法等。本题采用数形结合法。