闭区间套定理，是实数连续性的一种描述，几何意义是，有一列闭线段(两个端点也属于此线段)，后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以О为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点.

设有无穷多个闭区间，满足以下两个条件：

(1)[an+1，bn+1]⊂[an，bn]（即后一个闭区间都在前一个闭区间之内）；

(2)（即只要n充分大，闭区间的长度与0就可以接近到预先给定的程度），

那么将这一无穷多个闭区间所构成的集合称为一个闭区间套，简称区间套。

若是一个闭区间套，则存在唯一实数，并且。

若ξ是闭区间套的公共点，则，当时，有[an，bn]⊂U(ξ，ε)。

即如果ξ是闭区间套的公共点，那么在ξ的ε邻域内，总有区间套的无数个区间。

该定理反应了实数的完备性，是关于实数连续性的6个等价命题之一，因此可以由其他5个定理推导出来。但既然是关于实数连续性的定理，自然可以用实数的定义以及实数公理——戴德金定理来证明。

由闭区间套的定义，不难得到以下不等式：

取所有小于bn的实数构成数集A，其他实数构成集合B，则：

①{an}⊂A，{bn}⊂B，因此A、B非空；

② ；

③明显，A中的任意元素都小于B中的任意元素。

由戴德金定理得，存在唯一实数ξ，使ξ为A、B的分界点，并且ξ要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

假设ξ是A中的最大值，则有 ；假设ξ是B中的最小值，则有 。无论哪种情况都有 。

∵

∴ ，当 时，

∵

∴ ，

∴

而 ， ，即

∴有[an，bn]⊂U(ξ，ε)。

闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。作为介绍，在这里给出用闭区间套定理证明单调有界定理和拉格朗日中值定理的过程。

单调有界定理

单调递增有上界，或单调递减有下界的数列必定收敛。

证明：以单调递增有上界的数列为例。设数列{xn}单调递增有上界b，如果数列从某一项开始，所有的项都等于某个常数a，那么a就是{xn}的极限。如果不是这样，即{xn}严格单调，现构造一个闭区间套：

在{xn}中任取一项 ， ，由{xn}的单调性和有界性可知，下标大于N的所有xn都落在 上。

将 二等分成 和 ，二者之一必有{xn}中的无限项，设它为 。

重复上述步骤，得到一个闭区间套 ，由闭区间套定理，存在唯一实数

由闭区间套定理的推论，对 ，当 时，有。

而根据区间套的构造，每一个 上都有{xn}的无限项，利用{xn}的单调性可知，对上述的 ，当时，所有的xn都落在闭区间上，即。

于是取，当时，上述不等式均成立，即有。这也就是。

∴

拉格朗日中值定理

设f(x)在闭区间上连续，开区间上可导，则在至少存在一点ξ，使。

几何意义是，若f(x)在上连续，上可导，则在上至少存在一点ξ，使得f(x)在该点的切线与两端点之间的连线平行。

先介绍一个引理：若f(x)在上连续，则至少存在一个闭区间[α，β]⊂[a，b]，其中，并且满足。

这个引理在此不证，但其几何意义十分明显：若f(x)在上连续，连接两端点得到一条直线l，则总能将l平移使得l与f(x)的交点之中，至少存在两个交点横坐标的距离为闭区间长度的一半。

证明：运用上述引理，存在至少一个闭区间[α1，β1]⊂[a，b]，，且。

再对使用上述引理，得到至少存在一个闭区间[α2，β2]⊂[α1，β1]，，且。

反复运用上述引理，则得到一个集合，满足闭区间套的定义，且，有

由闭区间套定理，存在唯一实数，即，且。

由于f(x)在ξ处可导，按导数的定义以及海涅定理，

又由极限与无穷小的关系可知成立以下等式：

两式相减，并除以，得

令，上式最右端的极限仍然是，中间式子的极限值计算如下：

第一个因式是无穷小量，而因为，所以，都有，即第二个因式是有界量。根据有界函数乘以无穷小仍然是无穷小可知，中间式子的第二项是无穷小量。

同理可证中间式子的第三项也是无穷小量，从而中间式子的极限值就是。

于是，使，拉格朗日中值定理得证。