定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（＞）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。

实数公理是在集合论发展的基础上，由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为公理系统。实数公理来源于实数理论的研究，实数理论包括对实数的结构,运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。

实数集有多重结构，例如:

代数结构：从代数上看实数集是一个域。

序结构：实数集是一个有序集。

拓扑结构：实数集是一个拓扑空间,并且有诸如完备性,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。

实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限论的基础,也是近代分析数学的最重要基础之一。

设是一个集合，若它满足下列四组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:

对任意，有中唯一的元素与唯一的元素分别与之对应，依次称为的和与积，满足：

1.（交换律） 对任意，有：, .

2.（结合律） 对任意，有：，。

3.（分配律） 对任意，有：。

4.（中性元） 对每个，存在R中唯一的元素，记为0，称为加法零元（或加法中性元）；对每个，存在R中唯一的元素，记为1，称为乘法单位元（或乘法中性元），使。

5.（逆元） 对每个，存在中唯一的元素，记为，称为加法逆元；对每个，存在中唯一的元素，记为，称为乘法逆元，使，。

*6.（零元）对每个，存在中唯一的元素，记为0，称为乘法零元，使：。

注1：公理6中的乘法零元即为4中的加法零元，且公理6是可以从之前的公理中推导出来的，因此也可以不单独列为公理；

注2：公理4、公理5、公理6中的“存在唯一的元素”也可以改为“存在元素”，唯一性可以由公理推导得到

(a) 在任意两个元素之间存在一种关系，记为“”，使对任意，满足：

1.（三歧性） ,,三种关系中必有一个且仅有一个成立。

2.（传递性） 若且则。

*3.（与运算的相容性） 若，则；若，则。

(b) 在任意两个元素之间存在一种关系，记为“”，使对任意，满足：

1.（自反性）

2.（反对称性）若且,那么。

3.（传递性）若且则。

*4.（与运算的相容性） 若，则；若且，则。

注1：对于序公理这两种描述是等价的，且可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。

注2：“与运算的相容性”是可以从之前的公理中推导出来的，因此也可以不单独列为公理

(III)(1) 阿基米德公理（也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由完备性公理证明。在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题）。

阿基米德公理：对任意， 存在正整数，使。

(III)(2) 完备性公理（连续性公理）

如果与是的非空子集，满足对每个,，都有，则存在，使对任何,，都有。

称满足公理组I的集为域；满足公理组I与II的集为有序域；满足公理组I，II与(III)(1)的集为阿基米德有序域；满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。根据域公理，可以定义实数的减法和除法，并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“”是的全序。

用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值，并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理，可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III换成

(III)’完备性公理（连续性公理）（戴德金定理）

若是的非空子集且，又对任意的及任意的恒有，则有最大元或有最小元。

这里把戴德金定理用作连续性公理。另一个常用作连续性公理的确界原理。公理组I～III与公理组I+II+(III)’是等价的，（注意不是III<=>(III)’，事实上仅有III=＞(III)’）。完备性公理还可以换成闭区间套定理的形式。类似地，单调收敛定理，聚点原理等也可用作连续性公理。公理组II也有其他提法。用公理定义了实数系后，可以继续定义R的特殊元素正整数、整数等。例如，由数1生成的子加群的元素称为整数；由数1生成的子域的元素称为有理数。

但这里有一个很微妙的问题，即与完备性公理等价的7个实数系的基本定理（确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则）中，并不是每一个都能推出阿基米德公理的。具体来说，闭区间套定理和柯西收敛准则不能，其他5个基本定理则可以推出阿基米德公理。因此，以完备性公理作为实数公理之一时，阿基米德公理可以去掉；以5个可以推出阿基米德公理的基本定理替代完备性公理时，阿基米德公理也可以去掉；而以柯西收敛准则或闭区间套定理代替连续性公理时，必须补充阿基米德公理。

关于实数的完备性，注意完备性公理中出现的“完备性”，以及关于实数完备性最常见的描述中，所谓“完备性”是对集合（有序域）性质的一种描述。此外还有其它完备性，例如作为公理系统所确定的数学对象是否唯一（同构意义上）也称为完备性，这种意义下，实数也是完备的；还有作为公理系统，其语言（language）中的任何一个句子（sentence）S，这个理论包括且仅包括S或S之逆，也称为完备性，这种意义下，实数也是完备的。因此在出现“完备”这一说法时要注意通过上下文来确定完备的具体意义。

满足这些公理的任何集合，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。需要说明的是，实数公理下的系统是相容的，范畴的（即上述第二个意义下的完备）。

从另外一个角度来想，希尔伯特实数公理是自上而下建立数系的，用公理规定实数，然后再定义整数、正整数直至自然数。那么反过来行不行呢，实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来呢，事实上，这就是实数的构造理论所做的事了，在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论中，就展示了用戴德金分割的方法从有理数定义无理数的过程，从而建立了实数，而有理数是依赖于先建立整数的，整数又是依赖于先建立自然数的，当集合论发展起来之后，自然数又依靠集合来定义了（即皮亚诺公理），集合是最原始的概念，无法再定义的概念，整个自下而上的过程可以参见兰道的《分析基础》。因此无论是从上至下还是从下至上，整个数学的基础都建立在了集合论之上，数学再也不能排除掉集合这一概念了，当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后，引发了第三次数学危机，促使集合论又不得不加以改进，致使朴素集合论发展为近代集合论，现代的数学基础终于建立在了公理集合论的基础之上（ZFC公理系统）。

一、戴德金分割（分划）模型

二、柯西数列模型

三、魏尔斯特拉斯十进制小数模型

四、康托尔闭区间套模型（可归入第三个模型）

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。

一、上（下）确界原理

非空有上（下）界数集必有上（下）确界。

二、单调有界定理

单调有界数列必有极限。具体来说：

单调增（减）有上（下）界数列必收敛。

三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）

对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。

四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）

闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）

有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。

六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）

有界数列必有收敛子列。

七、完备性（柯西收敛准则）

数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。

注：只有充要条件的命题才能称之为“准则”，否则不能称为“准则”。

以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，它们彼此等价。在证明中，可采用单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。

在闭区间上连续函数的性质的证明中，实数系的基本定理是非常重要的工具，但是它们之间的等价性不能说明它们都成立，必须要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而以上的命题都成立，进过反复仔细琢磨，问题就归结为实数的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中，可以用实数的连续性来推出确界定理，在华东师范大学数学系编的《数学分析（上册）》（第四版）中就通过实数十进制小数形式推出确界定理，这也说明了建立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上，应该是先建立了实数，有了实数的定义之后，再得出实数系的基本定理，从而能够在实数域上建立起严格的极限理论，最后得到严格的微积分理论，但数学历史的发展恰恰相反，最先产生的是微积分理论，而严格的极限理论是在19世纪初才开始建立的，实数系的基本定理已经基本形成了之后，19世纪末实数理论才诞生，这时分析的算数化运动才大致完成。