其实在历史上，首先是一个希腊数学家“
欧多克索斯”首先公布的，早于阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了这一点，但是遵从传统，一般称之为“阿基米德公理（性质）”。
由于阿基米德性质与柯西收敛准则共同反映了实数的连续性，所以可以用实数的连续性公理——
戴德金定理来证明二者。
其中
柯西收敛准则的证明可参考相应词条，以下只通过戴德金定理来证明阿基米德性质。
根据
上界的定义，y是数集{nx}的一个上界，这里n=1、2、3、……。取{nx}的所有上界作为集合B，并把B在实数集R中的补集记为A，则：
③由取法可知，对B中的任一元素b，都有b≥nx。而因A中的元素都不是{nx}的上界，故对A中的任一元素a，在数集{nx}中存在某个数n0x，满足a
由戴德金定理得，存在唯一实数ξ，使ξ是A中最大值，或是B中最小值。
若ξ是B中的最小值，则根据数集B的定义，nx≤ξ。
若ξ是A中的最大值，则同样可以得出nx≤ξ。否则，假设有某个n0x>ξ，那么n0x∈B。
∵n0+1>n0，x>0，由不等式的性质可知(n0+1)x>n0x
但由数集B的定义，数集B中的任何一个元素都不小于nx，这里n=1、2、3、……而(n0+1)x∈{nx}，所以属于数集B的n0x也将不小于(n0+1)x，这样一来便产生了矛盾。
∴无论是哪种情况，都有nx≤ξ，n=1、2、3、……
取 ，则
∴存在自然数 和 ，满足
或
∵
而
∴有 ，矛盾
∴一定存在正整数N，使Nx>y成立，阿基米德性质得证。
推论
设a是任一正实数，则存在正整数n，使不等式a
证明：
若0
若a>1，根据阿基米德性质，令a=y，1=x，则存在正整数n，使nx>y，即n>a。
该推论表示，自然数集N没有上界，即不存在一个数大于所有的自然数。
其他解释
欧几里得的解释：
任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na>b。
几何描述：在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：
1：没有剩余；
2：得到一条短于较短线段的剩余线段。
举例
例1：
在一条直线上截取任意两条线段A,B。都符合A+A+A+···+A=A·N>B
这就是“阿基米德公理”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理，因为阿基米德把这个命题归功于欧多克斯。其实，比欧多克斯更早些，我国古代《墨经》上已记载着“穷，或有前不容尺也”，指的正是这个意思。