戴德金基本定理，它说明了实数域的一个性质，这个性质常称为实数域的完备性、连续性或密接性。它的叙述为对于实数域内的任一戴德金分割A|A'必有产生这分划的实数β存在。这数β或是下组A内的最大数，或是上组A'内的最小数。

戴德金定理(Dedekind theorem)是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理。它断言，若A|A'是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定唯一实数β，若β落在A内，则它为A中最大元，若β落在A'内，则它是A'中最小元。这个定理说明，R的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明，R的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性。

对于实数域内的任一戴德金分割A|A'必有产生这分划的实数β存在。这数β或是下组A内的最大数，或是上组A'内的最小数。

已知对于戴德金分割，把实数域拆分成两个均非空集A及A'，使能满足：

情形1：每一实数必落在集A，A'中一个且仅一个之内；

情形2：集A的每一数α小于集A'的每一数α'。

下面在戴德金分割的基础上给出戴德金定理的证明过程：

将属于A的一切有理数集记成A，属于A'的一切有理数集记成A'，容易证明，集A及集A'形成有理数域内的一个分划。

这分划A|A'确定出某一实数β。它应该落在A组或A'组之一内。假定β落在下组A内，则这样就实现了情形1，β就是A组的最大数。假定如果不是这样，便可在这组内找出大于β的另一数α0。现在α0与β之间插入有理数r，使α0＞r＞β。r亦属于A，故必属于A的一部分。这样就得出了谬论，即有理数r属于确定β的戴德金分割的下组，却又大于β。因此，就证明了戴德金定理的正确性。

类似地，如果假定β落在上组A'内，同样可以证明。

其实也可以通过实数域的定义，由集合A可以确定一个上确界n，那么容易证明n就是实数β。