在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。

区间在积分测度勒贝格测度。

区间也是区间算术的核心概念。区间算术是一种数值分析方法，用于计算舍去误差。

区间的概念还可以推广到任何全序集T的子集S，使得若x和y均属于S，且x整数区间[-1...2]即是指{-1,0,1,2}这个集合。

通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母 I 记之。有的国家是用逗号来代表小数点，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。

直线上介于固定的两点间的所有点的集合（不包含给定的两点），用(a,b)来表示（不包含两个端点a和b）。

开区间的实质仍然是数集，该数集用符号（a，b）表示，含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数，但不包含a和b。相当于{x|a

区别

1、开区间指的是区间边界的两个值不包括在内；（a,b）

2、闭区间指的是区间边界的两个值包括在内。[a,b]

3、半开半闭区间：开区间一边的边界值不包括在内，而闭区间一边的边界值包括在内。[a,b）、（a,b]

如下：

[a,b] a<=x<=b 取值包括a、b

（a,b）a

[a,b） a<=x

（a,b] a

连续函数

设函数f(x)在闭区间[a,b ]上连续，则有

（1） f(x)在闭区间[a,b ]上有界，即存在M>0，x∈ [a,b ]，有| f(x)|≤ M。

（2） f(x)在闭区间[a,b ]上取到最大值与最小值，即存在 x1、x2∈ [a,b ]，使f(x1)=m，f(x2)=M，且 任意 x∈ [a,b ]，有m≤ f(x)≤ M。

（3）任意Y∈ [m,M]，存在 c∈ [a,b ]，使f(c)=Y。

（4）f(x)在闭区间[a,b ]上一致连续。

当在开区间（a,b）上时，相关结论如下：

（1）若f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(a+ 0)，f(b-0)存在，则① f(x)在(a，b)上有界；② f(x)在(a，b)上一致连续。

（2）若f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(a+ 0)，f(b-0)存在，①若f(a+ 0)与f(b-0)不是f(x)在开区间(a，b)上的上界，则f(x)在(a,b)上取得最大值。②若f(a+ 0)与f(b-0)不是f(x)在开区间(a，b)上的下界，则f(x)在(a，b)上取得最小值。

（3）若f(x)在开区间(a，b)上连续，f(x)在(a，b)取到最小值m与最大值M，则 任意 Y∈ [m，M]，存在c∈ [a，b ]，使f(c)=Y。

微分中值定理是利用导数研究函数在区间上的整体性态的有利工具。《高等数学》教材中的几个微分中值定理都建立在闭区间上，利用导数研究开区间上函数的整体性态，常先转化到闭区间，再利用中值定理加以解决。然而微分中值定理的条件是充分条件，在开区间上定义的函数只要满足相应的性质，就有可能使微分中值定理的结论成立。

引理：

设（a，b）为有限或无穷区间，，f（ x）在（ a，b）内可导，，则至少存在一点，使。

定理 1 若函数 f 满足如下条件：

1）f 在（a，b）内可导，其中（a，b）为有限开区间；

2）、

则（a，b）内至少存在一点 c，使得。

定理二：若函数 f 与 g 满足如下条件：

1）f 、g在（a，b）内可导，其中（a，b）为有限开区间；

2）、、、，且，则（a，b）内至少存在一点 c，使得。

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最新修订时间：2024-07-10 15:48

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