弱拓扑(weak topology)是一种局部凸拓扑。设线性空间对(X，Y)关于双线性泛函〈·,·〉成为对偶，称X上由半范数族{|〈·,y〉||y∈Y}确定的局部凸拓扑为X的关于对偶Y的弱拓扑，记为σ(X,Y)。

设X为集合，𝓕={fα:X→Yα}是一族从X到拓扑空间族Yα的映射。则使𝓕为连续函数族的X的最弱的拓扑𝓣，称为由𝓕生成的弱拓扑。

设Ω为非空集。考虑函数族𝓕，使得对任意f∈𝓕，为拓扑空间，而有形式f:Ω→。设为Ω的使得𝓕的所有函数均为连续函数的拓扑集，则拓扑称为由决定的弱拓扑。

𝓣的子基为{fα-1(U):fα∈𝓕,U为Yα中开集}。

若A为局部凸空间𝒳的凸子集，则A的闭包等同于A的弱闭包。

赋范空间𝒳上的弱拓扑是由对偶空间𝒳*的半范数族生成的拓扑。

若𝒳在弱拓扑下为可度量化空间，则𝒳为有限维向量空间。

若𝒳为无限维向量空间，则𝒳在弱拓扑下非完备空间。

弱拓扑(weak topology)是一种局部凸拓扑。

对称地，Y上由半范数族{|||x∈X}确定的局部凸拓扑称为Y的关于对偶X的弱拓扑，记为σ(Y,X)。当X为局部凸空间时，(X,X)为自然对偶，σ(X,X)称为X的弱拓扑，而σ(X,X)称为X的弱*拓扑。相应地，X中原有的拓扑称为强拓扑。一般地，X的弱拓扑比强拓扑弱，从而弱闭集必是强闭集；对于凸集，其逆也成立，即强闭凸集也是弱闭的。集合的弱有界性与强有界性是等价的。

赋范线性空间的深入研究必然遇到弱拓扑问题。事实上，1930年，冯·诺伊曼(von Neumann，J.)就注意到了这一点。这也是需要引入拓扑线性空间的一个原因。

拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：

1.X与空集都属于T;

2.T中任意两个成员的交属于T;

3.T中任意多个成员的并属于T;

则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。

设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系T1T2，则称T1粗于T2，或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。在集合X上，离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。

局部凸空间是最重要的一类拓扑线性空间。设E是拓扑线性空间，如果E中存在由均衡凸集组成的零元的邻域基，就称E是局部凸的拓扑线性空间，简称局部凸空间，而E的拓扑称为局部凸拓扑。零元的每个均衡凸邻域V的闵科夫斯基泛函pV(x)是E上的连续半范数.反之，设{pλ|λ∈Λ}是E上一族半范数，E上使pλ(λ∈Λ)均为连续的最弱拓扑是局部凸的，且零元的均衡凸邻域基由下面形式的集组成：

这个局部凸拓扑称为由半范数族{pλ}确定的局部凸拓扑。如果对任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0，则{pλ|λ∈Λ}确定的局部凸拓扑是豪斯多夫拓扑.通常局部凸空间都指豪斯多夫局部凸空间.E中的定向半序点列{xα}收敛于x∈E等价于对每个λ∈Λ，pλ(xα-x)→0.设E1是由另一半范数族{qβ}确定的局部凸空间，则使线性映射T：E→E1连续的充分必要条件是，对任意的qβ，总存在有限个λ1，λ2，…，λn∈Λ和常数c，使不等式：

对一切x∈E成立。

局部凸空间的完备化空间也是局部凸的。根据哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空间上存在足够多的非零连续线性泛函。正因为如此，局部凸空间理论成为拓扑线性空间理论中最重要的部分。

关于局部凸空间理论的发展大约是始于迪厄多内(Dieudonné，J.)和施瓦兹(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一个主要推动力是分布理论，即广义函数理论。

赋范线性空间是一类可以引进“长度”概念的线性空间。设X是线性空间，X上满足下列条件的实值函数p(·)称为X上的范数：

1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.

2.p(αx)=|α|p(x)(α为数，x∈X).

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X).

对x∈X，p(x)称为x的范数，通常记为‖x‖.赋有范数的线性空间(X，‖·‖)称为赋范线性空间，简称赋范空间。

拓扑线性空间是一类具有拓扑结构的线性空间。如果实数域或复数域K上的线性空间E同时是有拓扑τ的拓扑空间，并且线性空间的基本运算x+y和αx(x，y∈E，α∈K)分别作为E×E和K×E到E中的映射按τ是连续的，则称E为(实或复)拓扑线性空间或拓扑向量空间。而τ称为E的线性拓扑或向量拓扑，零元的均衡的邻域全体组成零元的邻域基。满足T1分离公理的拓扑线性空间是完全正则的。

拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支，其基本概念建立于20世纪30年代，而今已经发展成为一门完整的学科，在纯粹数学和应用数学、理论物理、现代力学和现代工程理论中都有广泛应用。