离散拓扑(discrete topology)一类特殊的拓扑。设X为任意非空集合，则由X的所有子集组成的拓扑称为X上的离散拓扑。它是X上的最细拓扑。由此得到的拓扑空间称为离散拓扑空间或离散空间。

拓扑学是一门十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支有着广泛的应用，有的甚至已成为通用语言。拓扑学有多个研究方向，如一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学，低维流形等。离散拓扑空间是点集拓扑学中一种最简单的拓扑空间，但是它对于整个拓扑学脉络的理解起着非常重要的作用。

定义1设X是一个集合，T是X的一个子集族。如果T满足如下条件：

① X， ∈T；

②若A，B∈T，则A∩B∈T；

③若 ，则∪A∈T1A∈T；

则称T是X的一个拓扑。

如果T是集合X的一个拓扑，则X叫做拓扑T的空间，偶对(X，T) 是一个拓扑空间。在不引起混淆或无须指出拓扑时，直接称X是拓扑空间。此外，T的每一个元素都叫做拓扑空间(X，T) 或X中的一个开集。

定义2设X是一个集合。令T = P(x) ，即由X的所有子集构成的族。由定义1可知T是X的一个拓扑，称为X的离散拓扑，并且称(X，T) 为一个离散拓扑空间。在离散拓扑空间(X，T) 中，X的每一个子集都是开集。

离散拓扑(discrete topology)一类特殊的拓扑。设X为任意非空集合，则由X的所有子集组成的拓扑称为X上的离散拓扑。它是X上的最细拓扑。由此得到的拓扑空间称为离散拓扑空间或离散空间。

若X为离散空间，则X的任意点都是孤立点。若A是X的任意子集，则A是X的既开又闭的集，并且A的边界为空集。在X上定义的任意映射都是连续的。离散空间恒可度量化，它满足一切分离公理，是局部紧空间，是第一可数空间。多于一点的离散空间是局部连通的但不是连通的，也不是道路连通的。离散拓扑分有限离散拓扑、可数离散拓扑和不可数离散拓扑三类。根据X分别是有限集、可数集和不可数集，容易给出它们的定义。它们的拓扑性质也不尽相同，如有限离散拓扑是紧、可数紧、序列紧的，其他二者不是。而不可数离散拓扑不是可分的、第二可数的、 紧的、林德勒夫的，其他二者却是。

有限集X的离散拓扑为使X为豪斯多夫空间的唯一拓扑。

性质1集合X的离散拓扑T是X的最大拓扑，即对X的每一个拓扑T1，均有。

证明 由拓扑T1的定义可得： 对 A∈T1，有A∈ P(x)。此外，T是X的离散拓扑意味着T =P(x) ，因此，A∈T，从而由A的任意性可知。

性质2离散拓扑空间(X，T) 中：

①点x的邻域系是Ux= A X | x∈ A}，即凡是X的包含x的子集都是x的邻域。

② X的每一个子集既开又闭。

证明 对任意的x∈X，有{x}∈P(x)= T，故{x} 是开集。另外，对任意的x ∈ A X，有x∈{x} A，从而由邻域的定义可知A是X的邻域。

设A是X中的任一子集，那么有A∈P(x)=T，即A是开集。另一方面，由X ～ AX可得Ac∈P(x)= T， 故A是闭集。

注： 一般拓扑空间的子集也可能是既不开也不闭的。

性质3离散拓扑空间(X，T) 中，若AX，则A的导集A' = ，即A中不含有任何一个聚点。

证明 对任意的x∈X，存在x的一个开邻域{x} ，使得{x}∩(A －{x} )= ，从而x不是A的聚点，因此，由x的任意性可得：集合A中不含有任何一个聚点，即A' = 。