拓扑学（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），是研究图形（或集合）在连续变形下的不变的整体性质的一门几何学。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

从几何的角度来看，拓扑学的源头可以追溯到1736年，L.欧拉（L.Euler，1707－1783年）发表了真正属于拓扑学的第一篇论文。该论文研究的问题源起于18世纪，即哥尼斯堡七桥问题。

在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把七桥问题抽象成一个合适的“数学模型”。他想:两岸的陆地与河中的小岛, 都是桥梁的连接点, 它们的大小、形状均与问题本身无关。因此, 不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线, 它们的长短、曲直, 也与问题本身无关。因此, 不妨任意画7条线来表示它们。就这样, 欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题。怎样不重复地通过7座桥, 变成了怎样不重复地画出一个几何图形的问题。

经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连到一点的数目如果是奇数条，就称为奇点；如果是偶数条，就称为偶点。要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端。因此任何图能一笔画成，奇点要么没有，要么在两端）

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

1751年，欧拉给出了上述命题的证明，但其证明存在缺点。1794年，法国数学家A.M.勒让德(A.M.Legendre，1752－1833年)对欧拉的这个命题给出了巧妙的证明，并将欧拉的凸多面体条件推广到球面。1811年，法国数学家A.L.柯西(A.L.Cauchy，1789－1857年)又重新给出了证明。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。

它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

拓扑学（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），是研究图形（或集合）在连续变形下的不变的整体性质的一门几何学。由于早期研究的是直观拓扑学，因此人们又把这种研究连续变换下不变的性质的学科形象地称为“橡皮几何学”或“橡皮膜上的几何学”，也就是说橡皮膜在不被弄破的情况下，不管如何拉伸、压缩、扭转等变形而存在着某些不变的性质。因此，研究这些不变性成为拓扑学研究的中心课题。中文“拓扑学”一词最早由陈省身根据英文Topology音译而来。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。

什么是拓扑呢？拓扑研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。

拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8。拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。

所谓拓扑学，简要地说，就是研究空间图形在连续变换下不变的性质。换言之，在原来图形的点与变换了的图形的点之间存在一个一一对应，并且邻近的点变成邻近的点，这一性质叫做连续性，该变换叫做拓扑变换。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～1868）在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

（1）X和空集{}都属于T；

（2）T中任意多个成员的并集仍在T中；

（3）T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X，T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

一个指定了拓扑T的集合X叫做一个拓扑空间，确切地说，一个拓扑空间就是一个有序偶对（X，T），其中X是一个集合，T是X上的一个拓扑。

定义中的三个条件称为拓扑公理（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中）。

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

设与为给定集合X上的两个拓扑。若有关系，则称细于（也称为粗于），若是真包含关系，则称严格细于（严格粗于）。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。

若X为任意的一个集合，X的所有子集的族是X的一个拓扑，称之为离散拓扑；仅由X和空集组成的族也是X的一个拓扑，称之为平凡拓扑。离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f：（X，T1） ------> （Y，T2） （T1，T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。

（1）欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间，它的拓扑就是所有开集组成的集合。

（2）设X是一个非空集合。则集合t：{X，{}}是X的一个拓扑。称t为X的平凡拓扑。显然（X，t）只有两个开集，X和{}。

（3）设X是一个非空集合。则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑。显然X的任意子集都是（X，T）的开集。

（4）一个具体的例子。设X={1，2}。则{X，{}，{1}}是X的一个拓扑，{X，{}，{2}}也是拓扑，{X，{}，{1}，{2}}是拓扑（由定义可知）.

莫比乌斯带是一种拓扑图形，公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条具有魔术般的性质。因为，普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。

这种单侧曲面的性质当时并没有得到数学家的重视，后来，由于单侧曲面而引入拓扑学的一种性质――可定向性，即一个能定向的曲面，如果它能三角剖分，并且能指定全体三角形的定向，使得在作为两个三角形的一条公共边上所诱导出来的定向相反。

拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，如同图1那样粘成一个莫比乌斯带。像图1中那样用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图1中那样剪出一个两倍长的纸圈！

有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决！

比如在普通空间无法实现的手套易位问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。

“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有一个面了。

1847年，C.F.高斯（C.F.Gauss，1777－1855年）的学生J.B.李斯亭(J.B.Listing,1808-1882年)首先将Topology一词引进到数学中。在此之前，德国数学家G.W.莱布尼兹（G.W.Leibniz,1646-1716年）曾称之为位置分析，庞伽莱在1895年就以《位置分析》为名发表了系列论文，从原初由分析的需要而提出的一些几何问题发展成为一门专门的学科，标志着拓扑学的诞生。这是继欧几里得几何、解析几何、微分几何、射影几何之后的又一门新的几何学。如果以庞伽莱建立这门学科来算，其发展历程也不过百年的时间，业已成为现代数学的三大基础学科之一，甚至数学家们发自内心的感慨：“不懂拓扑就不能懂得现代数学”。

法国布尔巴基学派成员、数学家J.A.迪多内（J.A.Dieudonné,1906-1992年）说：“代数拓扑学和微分拓扑学由于它们对于所有其它数学分支的巨大影响，应该名副其实地称为二十世纪数学的女王”。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。二十世纪30年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距离概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。