在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英语：Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一个函数的梯度的散度给出的微分算子，这名字是为了纪念法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在数学中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。经拉普拉斯算子运算为零∆f=0的函数称为调和函数，称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。四维导数算子即在四位空间上的拉普拉斯算子。

在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英语：Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一个函数的梯度的散度给出的微分算子，通常写成、 或 。

这名字是为了纪念法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在数学中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。经拉普拉斯算子运算为零∆f=0的函数称为调和函数，称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆算子中的一个重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如，常用于波方程的数学模型、热传导方程、流体力学以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。

拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为对函数先作梯度运算（）后，再作散度运算（）的结果。因此如果是二阶可微的实函数，则的拉普拉斯算子定义为：

的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系中的所有非混合二阶偏导数：

作为一个二阶微分算子，对于k≥ 2，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数。表达式定义了一个算子Δ：C(R)→C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ：C(Ω)→C(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

其中x与y代表x-y平面上的笛卡儿坐标

另外极坐标的表示法为：

笛卡儿坐标系下的表示法

圆柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中是维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

向量值函数的拉普拉斯算子

拉普拉斯算子作用在向量值函数上，其结果被定义为一个向量，这个向量的各个分量分别为向量值函数各个分量的拉普拉斯，即

更一般地，对没有坐标的向量，我们用下面的方式定义（受向量恒等式的启发）：

，也可用类似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定义，然后证明“旋度的旋度”向量恒等式．

拉普拉斯－贝尔特拉米算子

主条目：拉普拉斯－贝尔特拉米算子和拉普拉斯－德拉姆算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。