名额分配问题（assignment problem of the number of deputies to be elected）政治学中的一个数学问题，“按人口比例分配议员名额”的计算方法的问题，是数学在政治学中的一个应用。它以应用浅显的数学知识得出了深刻的政治结论，却一直未获根本解决，因此而著称于世。

根据美国宪法，美国国会分参议院和众议院，参议院中各州有等额议席，而众议院“议员名额……将根据各州的人口比例分配”。这就是名额分配问题的缘起。美国宪法于1787年获得通过，1788年生效，但从1790年以来的200多年间，怎样操作才算公正、合理地按这一原则分配好名额，一直是美国政治家以及许多介人其中的科学家研究和争议的问题。人们创立了许多方法，但没有一种方法得到公认。

把这个问题数学化，则可作如下探讨：设美国一共有s个州，众议院一共设有h个议员席位。再设第i州有人口pi（i=1, 2,…, s），则全国总人口有P=p1+p2+…+ps，第i州的人口占全国总人口的比例为 。按上述宪法原则，第i州应有h个议员名额，记为qi=h，称之为第i州的“份额”，则显然有

q1+q2+…+qs=h。

但是一般地，qi不是整数，而议员名额却必须是整数。怎么办？这就是名额分配问题的症结所在。

用“四舍五入法”或“去尾法”或“进一法”对q取整数，都不行，因为这就会出现或者名额不够，或者名额剩余。

既然不能通过简单的对份额取整完成名额分配，问题就成为：在众议院席位数h，州数s，各州人口数pi（i=1, 2, 3,…, s）给定的条件下，求出各州的份额qi（i=1, 2,…, s）后，如何找出相应的一组整数a1，a2，…，as，使得

a1+a2+…+as=h，

让第i州取得a i（i=1, 2, 3,…, s）个议员名额，并且“尽可能地”满足美国宪法所规定的“按人口比例分配”的原则？这就是“名额分配问题”。从数学上说，稍加解释，小学生也可明白，但其求解却难倒了众多的政治家和数学家！

美国第一任总统乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿首先于1790年提出了解决名额分配问题的一种方法，1792年被美国国会通过，称之为汉密尔顿方法。

这一方法规定如下操作程序：

（1）取各州的份额qi的整数部分[qi]（如qi=1.5，[qi]=1；qk=0.82，[qk]=0），先让第i州拥有[qi]个议员名额。

（2）再看各州份额qi的小数部分。按从大到小的顺序，把余下的议员名额逐个分配给各相应的州，分完为止。具体做法是：小数部分（qi一[qi]）最大的州优先取得余下名额中的一个，小数部分次大的州取得再余下的名额中的一个……直到名额分完为止。

汉密尔顿方法看起来是相当公正、合理的，但它于1742年被美国国会通过后并未能马上付诸实施。最先采用的是杰斐逊的方法。

杰斐逊方法是一种“除子方法”。在前面我们谈问题的缘起时指出，问题的关键是：虽然有q1+q2+…+qs=h，但对qi以某种方式取整[qi]后，[q1]+[q2]+…+[qs]就不一定等于h了。杰斐逊认识到qi只有相对的意义，而不具有绝对的意义，因而，用一个正数λ去除所有的qi，得到 ，用代替原来的qi，其对相应的第i州来说表示“份额”的意义不变。这样如果选取适当的λ，使 在某种取整数的方法（如四舍五入法、去尾法、进一法等）下得到的整数[ ]加起来后恰好等于h，则可把ai=[ ]作为第i州应得的议员名额。由于用正数λ除后才得出名额的，所以叫做“除子方法”。如果用“去尾法”取得整数[ ]，就叫做杰斐逊法。

杰斐逊法也有令人不能接受的地方。那就是它不能符合所谓“公平分摊”的原则。这个原则是：按常理，对某一个非整数份额qi，它所取的名额数ai应满足[qi]＜ai＜[qi]+1（其中方括号仅表示用去尾法取整数）。但采用杰斐逊法，可产生“例外”，例如s=3，h=5，而q1=0.6， q2=0.5，q3=3.9，则显然有q3＜4，按“原则”，应有3＜a3＜4，但按杰斐逊法，取x=0.7，则有al=[ ]=0，a2=[ ]=0， a3=[ ]=5。

这种情况使美国国会在华盛顿总统否决汉密尔顿法50年后，重又接受了汉密尔顿法，并于1851年开始在美国实际使用。

从1880年，即美国众议院正式采用汉密尔顿法的第50年开始，美国国会出现了关于汉密尔顿法的公正合理性的激烈争论。其原因是1880年美国人口普查后，美国的一个州——亚拉巴马州发现用汉密尔顿方法分配名额使自己吃了亏。后来，1890年和1900年美国人口普查后，缅因州和科罗拉多州也认为自己吃了亏，因而反对汉密尔顿方法。这就是因为产生了一系列的“悖论”。

（1）亚拉巴马悖论。按常理，假定各州的人口比例不变，而众议院议员席位由于某种原因增加了一席，那么各州的议员名额或者不变，或者增加，无论如何不应减少，但是汉密尔顿法却不能保证这一点。

当州数s和各州人口比例 不变，众议院议员席位h增加反而导致某州议员名额减少，就称之为“亚拉巴马悖论”（因1880年该州最先遇到这种情况）。

（2）人口悖论。当h不变时，若各州人口有所增长，则即使第i州的人口增长率比第1州更大，有时也有可能第i州失去一个席位而第j州增加一个席位。这种情况被称为人口悖论。

（3）新州悖论。设有一个新的州加入了美利坚合众国（这在美国历史上发生过数十次），则总人口增加，相应地众议院席位也有所增加。这时原来某个州失去了一个席位，而另一个州增加了一席，虽然原来所有州的人口都没有发生变化，这种情况被称为新州悖论。

这些悖论都显示出汉密尔顿法的不合理之处，因此，它于1910年被废止。

汉密尔顿法不合理，以杰斐逊法为代表的各种除子方法也不尽如人意，怎么办呢？是否存在一种能使各方面都满意的名额分配方法呢？美国使用的是数学家E．V．亨廷顿（Huntington）提出的几种方法（1941年通过并被采用）。当然它们也不是没有问题的。

两位著名学者，美国的巴林斯基（M．Balinski）和扬（H．Young）在名额分配问题的研究中引进了公理化方法。即事先根据具体的现实问题给出一系列合理的要求，称之为“公理”，然后用逻辑方法考察这些公理之间是否相容。如果不相容，则说明符合这些公理的对象并不存在。

巴林斯基和扬在1982年证明了关于名额分配问题的一个不可能定理，指出包括“不产生人口悖论”、“不违反‘公平分摊’原则”等在内的5条十分合理的公理不相容，即满足这5条公理的名额分配方法并不存在。

但名额分配问题更广一些，一般分配问题是一个有现实需要的问题，有相当广泛的应用，如货物、任务、人员、成本等的分配问题。怎样尽可能合理地解决这个问题，是当代数学家正在研究的问题之一。