切比雪夫函数(Chebyshev function)重要的数论函数之一。它是切比雪夫(Чебышев，П.Л.)为了证明素数定理而给出的。使函数Ψ(x)与对数函数建立了简单的联系，从而为证明素数定理和研究素数分布奠定了基础。

切比雪夫（Chebishev，Pafnuti Lvovich）俄国数学家、力学家。早年接受家庭教育，后毕业于莫斯科大学。1847年始任彼得堡大学副教授。2年后通过了博士论文《比较论》，升为教授。切比雪夫在许多数学领域都作出了卓越贡献。他是函数构造理论的创始人，建立了用多项式逼近连续函数的理论，创立了新的数学分支。在数论方面，从本质上推进了素数分布问题的研究。他对有理逼近问题的研究在丢番图近似理论的发展中起了重要作用。在概率论方面，他建立了证明极限定理的新方法—矩方法， 用简单和初等的办法证明了一般形式的大数定律。他的工作使概率论进入一个新的发展阶段。在数学分析方面，他研究了由代数函数和对数函数表示的无理函数的可积性。解决了有限形式下椭圆积分的问题， 证明著名的微分二项式可积性条件的定理。他所建立的正交多项式一般理论是数学分析的重要研究方向。他还对内插法进行了深入的研究。

切比雪夫兴趣广泛，喜爱发明创造。他在机械原理甚至服装裁剪等方面都有论著。

切比雪夫是彼得堡数学学派的创始人。他曾被选为多国家外籍科学院院士，获得法国荣誉团勋章。1944年，苏联科学院设立了切比雪夫奖金。并出版了他的全集。

曼戈尔特函数是重要的数论函数之一。曼戈尔特函数Λ(n)定义为：

如Λ(1)=0，Λ(2)=ln 2，Λ(3)=ln 3，Λ(4)=ln 2等。

曼戈尔特函数有如下性质：

1.Λ(n)不是积性函数.

2.Λ(n)=μ(n)ln.

3.Λ(d)=ln n.

4.Λ(n)=O(x)，Λ(n+1)=ln x+O(1).

5.设θ(x)=ln p，Ψ(x)=Λ(n)，则

且当x→∞时，Ψ(x)～x，θ(x)～x并与π(x)～x/ln x相互等价。

素数又被称为质数，其含义就是除了数字一和本身之外不能被其他任何的数字除尽，根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积，最小的素数是2。而素数定理能够准确的描述素数的分布，素数分布规律，以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数发波浪形式渐渐增多。素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。

下面是对π(x)更好的估计：

, 其中. 而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，下式与黎曼猜想等价:

至于大O项的常数则还未知道。

在1948年,塞尔伯格和保罗·埃尔德什首次给出素数定理的初等证明。

切比雪夫函数(Chebyshev function)是重要的数论函数之一。如果Λ(n)表示曼戈尔特函数：

则下面函数：

和 称为切比雪夫函数。它是切比雪夫(Чебышев，П.Л.)为了证明素数定理而给出的，是重要的数论函数。函数(1)与素数个数函数π(x)有十分密切的联系。事实上，素数定理： 等价于θ(x)～x或Ψ(x)～x(x→∞)，并且可由算术基本定理推出关于Ψ(x)的一个重要性质，即： 。上式使函数Ψ(x)与对数函数建立了简单的联系，从而为证明素数定理和研究素数分布奠定了基础。

由于Erhard Schmidt的定理指出，对于一些明确的正常数K，存在无穷多的自然数x，使得：

和无限多的自然数x使得：

在无穷小中，上面的式子可以写成：

Hardy和Littlewood证明了更强的结果：