冯·诺伊曼代数
数理科学术语
冯·诺伊曼代数亦称弱闭对称算子环，是一类由算子构成的弱闭的C*代数。
简介
冯·诺伊曼代数亦称弱闭对称算子环，是一类弱闭的算子C*代数。
定义
定义1
令𝓑(H)为希尔伯特空间H上有界线性算子全体所成的C*代数，其中*运算为取伴随算子。
如果𝓜是𝓑(H)的自伴子代数，且关于𝓑(H)的弱算子拓扑是闭的，则称𝓜为冯·诺伊曼代数。
定义2
若𝓜是含单位元I的C*代数，且是某个巴拿赫空间的对偶空间。则称𝓜为冯·诺伊曼代数。
定义3
如果𝓜是𝓑(H)的对合子代数，且𝓜的交换子的交换子为𝓜自身，则称𝓜为冯·诺伊曼代数。
性质
冯·诺伊曼代数为算子C*代数。
冯·诺伊曼代数拥有足够多的投射算子以生成本身。
对每个作用在可分希尔伯特空间的冯·诺伊曼代数𝓜，都存在一个可分C*子代数A，且A是𝓜的弱稠子集。
若是𝓑(H)的交换*代数，则存在极大交换冯·诺伊曼代数包含。
若T为希尔伯特空间的正规算子，则T生成的冯·诺伊曼代数为交换代数。
若𝓜为𝓑(H)的自伴子代数，则𝓜的弱闭包为冯·诺伊曼代数，且若𝓜为交换代数，则也是交换代数。
相关概念
由于H上所有交换自伴算子代数对于包含为偏序集，由佐恩引理，该集合有极大元，为极大交换自伴代数。
极大交换自伴代数为交换冯·诺伊曼代数。
与测度论的关系
若为测度空间，则L∞(μ)为的极大交换冯·诺伊曼代数，且L∞(μ)的弱算子拓扑与弱*拓扑相同。反之，给定任何交换冯·诺伊曼代数，都存在测度空间，使得L∞(μ)与其同构。
交换冯·诺伊曼代数理论等价于勒贝格测度理论与自伴算子的谱定理。
故冯·诺伊曼代数理论是测度论的非交换推广。
发展
冯·诺伊曼代数是冯·诺伊曼(vonNeumann,J.)等人于1935年开始研究的一类算子环，他们得到完整而深入的结果，后人为纪念这一数学理论的奠基者，就以他的名字来命名这类算子环。
有些文献把冯·诺伊曼代数定义为𝓑(H)中弱（强）闭自伴子代数（不必含单位算子I）。
参考资料
最新修订时间：2022-08-25 17:30
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