作用
数学概念
作用（action），别名左作用，是群论的一个概念，设X为集合，G为群。称X为G集，若存在作用α:G×X →X，使得
范畴论定义
幺半群对B中对象a的左作用为B中态射ν:c◻a→a，满足
ν∘μ◻1∘α=ν∘1◻ν，ν∘η◻1=λ。
单子与代数
设G为（小）群，则对任何（小）集X，有x∈X，g1,g2∈G，u为G中单位元，满足
TX=G×X，
ηx:X→TX定义为x↦
μ:T2X→TX定义为
可定义Set的单子。
则T代数为集X与结构映射h:TX→X，满足h(g1g2,x)=h(g1,h(g2,x))，h(u,x)=x。并可记g·x为h(g,x)。
群论定义
设X为集合，G为群。称X为G集，若存在作用α:G×X →X，使得
(1)1x=x，x∈X，1为X的单位元；
(2)g(hx)=(gh)x，∀g,h∈G，∀x∈X 。
也称G作用在X上。
相关概念
{gx:g∈G}记为Gx，称为G轨道，称为G的稳定子群。
作用称为传递作用，若对∀s,s'∈S，存在g∈G满足gs=s'，X称为传递集。等价地，只有一个G轨道的G集，即存在x使得X=Gx的集，则X称为传递集。
作用称为自由作用，若gs=s推出g=1，即Gs=1，∀s∈S。
若为单射，则有作用α的G集X称为忠实集。
性质
若H为G的子群，则商群G/H为传递集。
当G在X上有传递作用，则存在G集同构X→G/Gx，gx↦gGx。
参考资料
最新修订时间：2024-05-21 14:58
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目录
概述
范畴论定义
单子与代数
群论定义
参考资料

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