稳定子群亦称稳定化子。一种特殊的子群。设群G作用在集合X上，x∈X，G中作用在x上使x不变的元素的全体，即{g∈G|xg=x}，它是G的一个子群，称为x的稳定子群，记为SG(x)，或StG(x)。

设X为G空间，x∈X。则Gx:={g∈G|gx=x}，称Gx为点x的稳定子群。

Gx为G的闭子群。

若集合，在上的二元运算（该运算称为群的乘法，其结果称为积）构成的代数结构，，满足：

1. 封闭性：即G的任意两个元素在下的运算结果都是该集合的一个元素。（，）。

2.结合律：，；

3.单位元：中存在元素，使G中任一元素与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于本身。（，使，有）；

4. 逆元：，，使得，称为的逆元，记为。（逆元具有唯一性，即：由可以推出）

则称为一个群，或乘法群。

有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法，此时该运算通常记为，群元素的运算也被记为如同的形式，而群也可被称为加法群。此种情况下，往往加法还有可交换的性质。

定义为集合上所有双射的集合，并定义合成映射，这里是的任意元素。构成一个群，这个群被称为置换群，记为或。

例集合的三个元素置换群组成.

定义为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法为矩阵乘法，则构成一个群。

这个群称为一般线性群，记为。

例1在普通乘法下是群。

证：1)封闭性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

2)结合律：成立

3)单位元：1

4)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2在mod n的加法下是群.

证：1)封闭性：除以n的余数只能是，故封闭性成立

2)结合律：成立

3)单位元：0

4)逆元素：对任意元素a有，a的逆元

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

稳定子群置换群内的一种特殊子群。置换群G中把某点α保持不动的全体元素组成的子群。它记为Gα，称为α在G内的稳定子群。若β是G中另外一个点，而G中有元素g使α=β，则。所以同一轨道内的各点有相互共轭的稳定子群。若Δ={α1，α2，…，αr}为G的轨道，取xi∈G (i=1，2，…，r)，使α1=αi，则陪集Gα1xi就是G中把α1变成αi的全部元素所成的子集。于是，Δ中的元素和Gα1在G内的各陪集之间可以建立一一对应。因此Δ的长度r就是Gα1在G内的指数。

稳定子群的概念还可以推广。设Δ是Ω的一个子集合，可自然地得到两个子群。第一个子群由G中那些把Δ中每个元素都不变的元素组成，这个子群称为子集Δ的点不变稳定子群。第二个子群由G中那些把Δ作为整体还变成Δ的元素组成，这个子群称为Δ的集不变稳定子群，分别记为GΔ和G{Δ}。还有其他形式的稳定子群，给定一个置换群后，就可以自然地得到一系列子群。通过这些子群的研究常常使人们可以了解所给置换群的构造，这是研究置换群的一个方便之处。