数学中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。

霍奇星算子在k-形式空间与 (n-k)-形式空间建立了一个对应。一个k-形式在这个对于下的像称为这个k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是

后一个空间的维数是

又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在k-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。

第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间V。在这种情形，帕斯卡三角形相关行是1, 3, 3, 1。

霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是V自己，另一个是V中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。

由于一个向量空间上k个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的k-向量空间的对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

一个定向内积向量空间V上的霍奇星算子是V的外代数（）上的一个线性算子，是k-向量子空间（） 与 (n-k)-向量子空间（） 之间的线性映射，这里。它具有如下性质，这些性质完全定义了霍奇星算子：给定一个定向正交基我们有

其中是的一个偶排列。

特别是我们有，

使用指标记法，霍奇对偶由缩并一个k-形式与n-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (detg)，这里g是一个内积（如果g不是正定的，比如洛伦兹流形的切空间，则取行列式的绝对值）。

从而有

这里 η 是任意一个反对称k阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积g上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。

霍奇对偶在k-向量空间上诱导了一个内积，即在V的外代数上。给定两个k-向量与，有

这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明是一个内积，它是半双线性的，并定义了一个范数。反之，如果在上给了一个内积，则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义。

本质上，V的正交基元素的楔积组成了V的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做

其中是流形的度量。

当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定n-维空间V上一个k-向量，我们有

这里s与V上内积的符号有关。具体说，s是内积张量行列式的符号。例如，如果n= 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则s= -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以s= +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。