阿部家宗家7代。2代藩主
阿部正福次男。母亲为岛津吉贵养女（鸟居忠英之女）。正室为丹羽高宽之女。子女有阿部正表（长男）、阿部正固（次男）、
阿部正伦（三男）。幼名富之助。初名正治。
享保9年（
1724年），作为备后福山藩主·阿部正福的次男于江户藩邸出生。
元文3年（
1738年），于14岁时拜谒
德川吉宗，任从五位下伊予守。
宽延元年（
1748年），于25岁时继承阿部正福让出的家督，至
明和6年（
1769年）去世的28年间任藩主。但是，在任藩主的大多数时间里为策划幕政劳作，而没有直接参与藩政。
就任福山藩主的正右于宽延3年（
1730年）进入福山藩领内视察，不过之后都在江户或者京都居住。
宝历2年（
1752年）任
奏者番，宝历6年（
1756年）兼任寺社奉行，宝历10年（
1760年）转任从四位下、
京都所司代。虽然任京都所司代期间有打破先例受到处分的事，不过、也在
后樱町天皇即位的祭礼中大显身手。明和元年（
1764年）就任西丸老中，翌年（
1765年）任本丸老中。这是阿部家宗家中自
阿部重次以来约100年后首次任老中。
但是，因为正右的发迹而强迫福山藩困难地支出了大量的经费。为此福山藩泛滥地发行藩札（银札）以填补严峻的财政赤字，但是、无法控制的市场混乱使福山藩信用尽失。在这样的事态下，福山藩下达了强制使用藩札的命令，并且进一步向领民征收“御用银”。但是宝历3年（
1753年）、反抗的领民爆发
一揆使得此政策被迫撤回。之后福山藩致力于统一通货和财政的健康化，但是在正右
去世之前情况并未好转。据说同时在这种状况下藩士纲纪涣散。其后由三男·正伦继承。