在数学上，一个域F被称作代数闭域，当且仅当任何系数属于F且次数大于零的单变数多项式在F里至少有一个根。

举例明之，实数域并非代数闭域，因为下列实系数多项式无实根：

同理可证有理数域非代数闭域。此外，有限域也不是代数闭域，因为若列出的所有元素，则下列多项式在中没有根：

反之，复数域则是代数闭域；这是代数基本定理的内容。另一个代数闭域之例子是代数数域。

给定一个域，其代数封闭性与下列每一个性质等价：

不可约多项式当且仅当一次多项式

域F是代数闭域，当且仅当环中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域，是的一个不可约多项式，那么它有某个根a，因此是的一个倍数。由于p(x)是不可约的，这意味着对于某个，有。另一方面，如果F不是代数闭域，那么存在F[x]内的某个非常数多项式在F内没有根。设为的某个不可约因子。由于在F内没有根，因此在F内也没有根。所以，的次数大于1，因为每一个一次多项式在F内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数F内的n≥1的多项式都可以分解成线性因子。也就是说，存在域F的元素k，x1，x2，...，xn，使得p(x)=k(x−x1)(x−x2)···(x−xn)。

如果F具有这个性质，那么显然F[x]内的每一个非常数多项式在F内都有根；也就是说，F是代数闭域。另一方面，如果F是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域K，任何K[x]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对F成立。

有理表达式的分解

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于F内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为a/(x−b)n的有理函数之和，其中n是自然数，a和b是F的元素。

如果F是代数闭域，那么由于F[x]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域F成立。设p(x)为F[x]内的一个不可约元素。那么有理函数1/p可以写成多项式函数q与若干个形为a/(x−b)的有理函数之和。因此，有理表达式

可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于p(x)是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

设为代数扩张，且是代数闭域，则称是的一个代数闭包。可以视之为包含的最小的代数闭域。

若我们承认佐恩引理（或其任一等价陈述），则任何域都有代数闭包。设为任两个的代数闭包，则存在环同构使得；代数闭包在此意义上是唯一的，通常记作或。