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谱半径

数学名词

在数学中，矩阵或者有界线性算子的谱半径是指其特征值绝对值集合的上确界，一般若为方阵A的谱半径则写作ρ(A)。

定义

设有幺元的复巴拿赫代数，a为的元，a的谱为。则a的谱半径为

正规元的谱半径

若x为含幺C*代数的正规元，则x的范数等于其谱半径。

方阵的谱半径

若是复数域上的n阶方阵，又是A的全部特征值，则

称为A的谱半径。

谱半径的估计

在讨论矩阵的范数时，我们知道，矩阵A的每一个特征值的模(绝对值)，都不超过矩阵A(在任意一种矩阵范数定义下)的范数即。

由此即得：

定理1

复数域上的任一n阶方阵的谱半径都不超过A的范数即

这里是任一方阵范数。

若取方阵范数为，或，则有下面的推论：

推论

（1）

（2）

（3）

这里为矩阵的最大特征值。

当是正规矩阵时，则有下述定理。

定理2

若A为n阶正规矩阵，则

证明因A是正规矩阵，故存在酉矩阵P，使得

由此可得

从而

又显然有

这里是中的某一值，因此有

而

所以证毕。

由于对角形矩阵、实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵、酉矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵都是正规矩阵，所以对于它们都具有性质。

定理3

对任意，存在上的某种矩阵范数，使得对任意恒有

注意：这里的矩阵范数与矩阵A无关。

参考资料

最新修订时间：2023-08-31 01:20

条目作者

概述

定义

正规元的谱半径

方阵的谱半径

谱半径的估计

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