实反对称矩阵(real antisymmetric matrix)是一种反对称矩阵，指欧氏空间的反对称变换在标准正交基下的矩阵，即元素aij都是实数，并且aij=-aji(i，j=1，2，…)，n的n阶矩阵A=(aij)。它有以下性质：1.A的特征值是零或纯虚数；2.|A|是一个非负实数的平方；3.A的秩是偶数，奇数阶反对称矩阵的行列式等于零。

设A为n阶实矩阵，如果AT=-A，则称A为实反对称矩阵。

若矩阵A满足条件A=-AT，则称A为反对称矩阵。由定义知反对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线两侧对称位置上的元素必符号相反，即，其中i、j为任意不大于矩阵维数的实数。

实反对称矩阵有如下性质：

性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。

性质2：当A为n阶实反对称矩阵时，对于有XTAX =0。

性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。

性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交。

性质5：若A为n阶实反对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Γ，使得

式中，±ibk(k=1，2，…，n)是A的全部非零特征值。k=1，2，…，r，A的秩r(A)=2r，矩阵(1)称为实反对称矩阵A在正交相似下的标准形。

【例1】设A为n阶反对称方阵，A*为其伴随矩阵，证明：当n为奇数时，A*为对称方阵；当n为偶数时，A*为反对称方阵。

证明 由于A*中每个元素均为A中的n-1阶子式，故对任意数k有

又因A'=-A，故可得

当n为奇数时，，即A*为对称方阵。当n为偶数时，，即A*为反对称方阵。

【例2】证明：实反对称矩阵的特征根是零或纯虚数。

证明 设A为实反对称矩阵，λ是它的任意一个特征根，而是属于特征根λ的一个特征向量，即

一方面，有

另方面，又有

故

但是

故

即λ为零或纯虚数。

【例3】证明：1)若A，B为同阶实对称矩阵，则AB-BA的特征根只能是0或纯虚数；

2)若A为实反对称矩阵，则|A+E|≠0。

证明 1)因为A，B都是实对称矩阵，故：

(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'=BA-AB=-(AB-BA)，

故AB-BA为实反对称矩阵，由上题知，其特征根只能是0或纯虚数。

2)设若|A+E|=0，则便有|-E-A|=0，这说明A有特征根-1，这与A是实反对称矩阵矛盾，故必|A+E|≠0。

注：若A不是实的反对称矩阵，则结论不成立。例如，是反对称矩阵，但显然|A+E|=0。