联络_微分几何概念 - 威林百科weilinceramic.com

联络

微分几何概念

联络（connection）为微分几何中的概念。

向量丛

设ξ=π:E→M为向量丛。则ξ上的联络𝓗为E的切丛的全空间TE的一个分布，即对E中任意点u，有𝓗u为TuE的子空间，称为水平子空间，使得

(1)对任意u∈E，π*u:𝓗u→Tπ(u)M为同构；

(2)la*𝓗u=𝓗au，其中la(u)=au为左乘a∈ℝ。

主丛

令π:P→M为主丛，其结构群为李群G，G的李代数为𝖌。主丛P的一个联络是一个分布𝓗={p→𝓗p}，满足

(1)TP=kerπ*⊕𝓗。即决定了一个分解X=Xv+Xh∈kerπ*⊕𝓗，X∈TP；

(2)Rg*𝓗=𝓗∘Rg，g∈G。

联络形式

定义

令P上联络为𝓗，设ω∈𝖌⨂T*P为P的一个𝖌值微分1形式，称ω为P的𝓗的联络形式为，若满足如下性质：

ω(u)=(lb*e)-1uv，u∈TbP，b∈P，

其中uv为切向量u的垂直分量，lb:G→P定义为lb(g)=bg。

性质

设η:P×𝖌→P为平凡丛，ω∈A1(P,η)。

联络𝓗的联络形式ω满足

(1)ω|𝓗=0，lu*∘ω|kerπ*=1kerπ*；

(2)Rg*ω=Adg-1∘ω，g∈G。

反之，若ω为P的𝖌值1形式，满足ω|𝓗=0与(2)，则kerω为P→M的联络。

局部联络

若{Ui}为M的一个开覆盖，σi为Ui上的截面。则P的一个局部联络形式为Ui的一个李代数值微分1形式𝓐i∈𝖌⨂Ω1(Ui)，定义为

𝓐i=σi*ω

层论定义

设M为实流形，ξ=π:E→M为复向量丛，为在E上取值的第i微分形式层。向量丛E上的联络为复线性层同态，且对任何M上的局部函数f与E上的截面s，满足莱布尼茨公式。

构造

联络为底空间为M的向量丛之间的一个态射，满足，且为双线性映射。

兼容

每个向量丛都兼容联络。

设为ξ的垂直丛的总空间，为在TE的法丛。

若𝓗为连通流形上的丛的联络，则𝓗为平凡当且仅当和乐群平凡。