直角三角形（right triangle）是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。

直角三角形如图1所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况）在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。

等腰直角三角形是一种特殊的三角形

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。

它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图2，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理）

2、在直角三角形中，两个锐角互余。如图2，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD）2=BD·DC。

（2）（AB）2=BD·BC。

（3）（AC）2=CD·BC。

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边的射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

6、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。

先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2

∵∠A=30°

∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）

取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD

∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

∴BC=BD=AB/2

再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°

取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

又∵BC=AB/2

∴BC=CD=BD

∴∠B=60°

∴∠A=30°

7、如图3，

在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：

证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC

两边乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2

运用勾股定理，再两边除以 ,最终化简即得

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若 ，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理

判定3的证明：

已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a= c。求证∠C=90°

证法1：

正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC

将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1

又∵0<∠C<180°

∴∠C=90°

证法2

反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D

在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°

∴BD= AB（30°的直角边等于斜边的一半）

又∵BC= AB

∴BC=BD

但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD

（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）

∴假设不成立，∠ACB=90°

证法3

利用三角形的外接圆证明

作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB

∵∠BAC=30°，A在圆上

∴∠BOC=60°

∵OB=OC=半径r

∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r

又∵AB=2BC=2r

∴AB是直径

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)

等腰直角三角形的边角之间的关系 ：

（1）三角形三内角和等于180°；

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（3）三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角；

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.

（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

（5）三角形的一条内角平分线与两条外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

注意：

①任意三角形的内心、重心都在三角形的内部 .

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

⑤任意三角形的旁心一定在三角形的外部。

中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。

角平分线：平分三角形一内角的线段。

高线：三角形中一顶点向对边作的垂线

如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式： ，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）由毕达哥拉斯在公元前550年提出。

如图4，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点

立柱为BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？

解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°

又

（一）已知两条直角边的长度 ，可按公式： 计算斜边。

（二）如已知一条直角边和一个锐角，可用直角三角函数计算斜边。

直角三角形ABC的六个元素中除直角C外，其余五个元素有如下关系：

∠A+∠B=90°

sinA=（∠A的）对边/斜边

cosA=（∠A的）邻边/斜边

tanA=（∠A的）对边/邻边

例：角A等于30°，角A的对边是4米，计算斜边C是多少？

查表sin30°=0.5，斜边C=4/0.5=8米

三角函数值除了查表，也可以用电脑系统自带的计算器，计算。

开始——程序——附件——计算器。这个计算器有两种模式，点‘查看’有一个下拉菜单，有标准型和科学型，选择科学型，输入度数后正弦点sin，余弦点cos，正切点tan，值就直接显示出来了。

这里有一个度和度分秒转换的问题。如 18.69度，其中整数18就是18°，那么18.69-18=0.69，用0.69×60=41.4这里整数41就是41分，再41.4-41=0.4，

再用0.4×60=24这个24就是秒。18.69度=18度41分24秒

也可以用计算器直接转换：输入度数18.69——钩上Hyp——再点dms

就显示出18.4124，这就是18度41分24秒。

如要转换回去就输入18.4124——钩上Inv——再点dms,就转换了。

有一点请注意，显示度分秒时，小数点后面是一位数或三位数如：

15.3； 15.302，应读作15度30分；和15度30分20秒。

含义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

1.三条边的关系：

2.归纳

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：