滤子基(filter base)生成滤子的一类集族。
定义
滤子和滤子基的最一般的形式是定义在一般的
偏序集上的。
偏序集合 (P,≤)的子集F称为滤子基,若F满足:
若F同时还满足:
则称F是滤子。
相关概念和结论
真滤子
偏序集P的滤子F称为真滤子,若F≠P。
主滤子及其主元素
包含给定元素 的最小的滤子是主滤子。 称为该滤子的主元素。 的主滤子是: 给出,并记为 。
理想
滤子的序对偶(交换≥和≤,∧和∨)概念是理想; 由于滤子和理想在概念上的序对偶性,关于滤子的讨论通常可以与理想的讨论相关联。关于滤子的其它信息(如极大滤子,素滤子)参见
理想。关于
超滤子有专门的条目。
格中的滤子
滤子最初只是为格定义的。在这种情况下,滤子可以被特征化为如下等价陈述:
即,对于所有在F中的x,y,x∧y也在F中。
集合上的滤子
滤子的一个特殊情况是定义在集合上的滤子。假定一个集合S,偏序⊆可以通过子集包含定义在幂集P(S)上,把 (P(S),⊆)变成了一个格。定义S上的滤子F为P(S)的有如下性质的子集:
前三个性质蕴涵了集合上的滤子有有限交集性质。通过这个定义在集合上的滤子是真滤子。为此有时叫做集合上的真滤子;但是,只要集合上下文是明显的,短名字就足够了。
滤子基是P(S)的带有如下性质的子集B:
滤子基B可以通过把包含B的一个集合的P(S)的所有集合包括在内而变成(真)滤子。所以结果的滤子基经常被称为是生成或扩张自滤子基B。所有滤子更加是滤子基,所以经过滤子基到滤子的过程可以被看做某种补全。
如果B和C是在S上的两个滤子基,要说C细于(finer than)B(或者C是B的精细),意味着对于每个B0∈B,有一个C0∈C使得C0⊆B0。
给定P(S)的一个子集T,我们可以问是否存在一个最小的滤子F包含T。这样一个滤子存在,当且仅当T的子集的有限交集是非空的。我们称T为F的子基,并称F生成自T。F可以通过采纳T的所有有限交集来构造,它就是F的滤子基。
例子
集合 被叫做自然数序列 的尾滤子基。尾滤子基由任何网使用构造 得到。所以,所有的网都生成一个滤子基(并因此是滤子)。因为所有序列都是网,这对所有序列也成立。
在模型论中滤子
对于在集合S上的任何滤子F,如下定义的集合函数
是
有限可加性的,就是一个“
测度”,如果这个术语更加松散的构造的话。所以陈述
可以在某种程度上被认为类似于声称φ“
几乎处处”成立。在滤子内的成员关系释义用在
模型论的超乘积理论中。
在拓扑学中的滤子
在拓扑学和
数学分析中,滤子被用来定义收敛,类似于
序列在
度量空间空间中所扮演的角色。
在拓扑学和有关的数学领域中,滤子是网的推广。网和滤子二者都提供非常一般性的上下文来统一各种
极限概念到任意的
拓扑空间。
一个
序列通常用作为全序集合来索引。因此,在
第一可数空间中的极限可以被序列所描述。但是如果,空间不是第一可数的,则必须使用网或滤子。网推广了序列的概念,通过简单的要求索引集合是有向集合。滤子可以被认为是从多个网建立的集合。因为,滤子的极限和网的极限二者在概念上同于序列的极限。
使用滤子的好处是很多结果的证明可以不使用
选择公理。
邻域基
选取拓扑空间T和一个点x∈T。
收敛滤子基
选取拓扑空间T和一个点x∈T。
聚集
选取拓扑空间T和点x∈T。
拓扑空间的性质
选取拓扑空间T。
拓扑空间上的函数
选取拓扑空间X和Y和子集E⊆X。选取E上的滤子基B和函数。B在f下的像f[B]是集合。像f[B]形成了在Y上的滤子基。
度量空间
一致空间中的滤子
给定
一致空间X,在X上的滤子F被称为柯西滤子,如果对于所有
周围(entourage)U,有着带有对于所有。在度量空间中,这选取形式 F为柯西的,如果对于所有。X被称为是完备的,如果所有柯西滤子会聚。反过来说,在一致空间上所有收敛滤子是柯西滤子。此外,所有柯西滤子的聚集点是极限点。
紧致一致空间是完备的:在紧致空间中每个滤子都有聚集点,并且如果滤子是柯西的,这种聚集点就是极限点。进一步的,一致空间是紧致的当且仅当它是完备的和完全有界的。