混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支，也是近三十年来的一个热门学科，混沌动力学已发展成相对完备的体系，并在众多领域显示出强大的生命力。

混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支，也是近三十年来的一个热门学科。混沌（Chaos）是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，牛顿确定性理论能够处理的多维线性系统，而线性系统大都由非线性系统简化而来。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

混沌运动的动力学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象中非常有用，其中包括电子电路的动力学特性。但是，由于混沌系统所固有的系统输出对状态初值的敏感性以及混沌系统和混沌现象的复杂性和奇异性，使得混沌控制理论的研究更具有挑战性，也使得这一领域的研究和发展成为当代非线性科学的研究热点。

混沌现象最初是由美国气象学家洛伦茨，在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时偶然发现的。1963年，Lorenz在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期与不可预见性之间的联系。他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性”。这可以生动的用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就可能在很远的另一个地方造成非常大的差异甚至引起风暴，将使长时间的预测无法进行。

许多其它学者为混沌理论的进展做出了不可磨灭的贡献。美国数学家J.York与他的研究生T.Ylie在1975年的论文“周期3则混沌（Chaos）”中首先引入了“混沌”这个名称。1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。

在确定性的系统中发现混沌，改变了人们过去一直认为宇宙是一个可以预测的系统的看法。用决定论的方程，找不到稳定的模式，得到的却是随机的结果，彻底打破了拉普拉斯决定论式的“因果决定论可预测度”的幻想。而混沌理论则研究如何把复杂的非稳定性事件控制到稳定状态的方法。

混沌理论作为一个科学理论具有三个关键概念，或者说是三个特性：初值敏感性、分形（fractals）和奇异吸引子。

初值敏感性（蝴蝶效应）：混沌现象揭示了现实世界不可琢磨的复杂性，从而给科学决定论以打击。混沌理论指出的某些系统，只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。这一点常常被通俗地称为蝴蝶效应。

分形（fractals），是著名数学家Mandelbrot创立的分形几何理论中的重要概念。意为系统在不同标度下具有自相似性质。自相似性意味着递归，即在一个模式内部还有一个模式，可产生出具有结构和规则的隐蔽的有序模式。

吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。有三种不同的吸引子控制和限制物体的运动程度：点吸引子、极限环吸引子和奇异吸引子（即混沌吸引子或洛伦兹吸引子）。点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，使系统产生静态的、平衡的特征，故也称收敛性吸引子。奇异吸引子使系统偏离收敛吸引子的区域，诱发不同形态。它具有复杂的拉伸、折迭与伸缩的结构，可以使指数型发散保持在有限的空间中；它使系统变为非预设模式，从而使系统成为不可预测性的。

天然存在的系统（物理系统、化学系统或生物系统）能呈现混沌，这一点目前已得到普遍共识，并引起了许多学者在实验室里或在自然状况下对混沌识别进行尝试，现今用来识别混沌方法主要有三种：利用功率波、相空间重构及李雅谱诺夫指数法。其中应用较为广泛的是第三种方法。

李雅谱诺夫指数（LyapunovExponent）是有关非线性动力学中定量刻划复杂动力学性态的最常用的一个量，它用来量度动力学性态的规则性程度。由于混沌系统的初值敏感性，那些初始状态比较接近的轨迹总体上会指数发散，李雅谱诺夫指数描述了这种轨迹收敛或发散的比率，当一个系统中同时存在正的和负的李雅谱诺夫指数时，便意味着混沌的存在。

混沌已经被证明是一种普遍现象，但进行研究混沌现象有什么样的现实意义呢？各个领域的学者都在尝试混沌理论的应用。

天文学方面：先辈们认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳定的观点。太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。

生理学：Berkeley的California的WalterFreeman说脑子利用混沌作为等待状态，他说：人类脑电图（EEG）的研究表明，当一位受试者在接受或处理信息时，脑电波图会变得有序，其余的脑研究者正在通过分析混沌的脑电图的图形寻找预报癫痫发作的方法。

国际政治学：Wayne州立大学为敌对的两个国家之间的军备竞赛编制了一个模型，一个两国都有反导弹防御系统模型实验表明，局势是混沌和不稳定的，最终将导致战争。

但是应该看到，与各种混沌理论研究的百花齐放的场面不大协调的是，混沌理论应用于解决当今系统中出现的各种现实问题的成果并没有那么璀璨。混沌理论的应用，特别是在经济领域的应用还存在许多争议。可以预见，混沌学今后最具价值的研究方向应该在其应用领域。

有的科学家对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第二次革命”。但有的人认为这似乎有些夸张，认为它的应用前景有待进一步揭示。但混沌理论研究同协同学、耗散结构理论紧密相关。它们在从无序向有序和由有序向无序转化这一研究主题中有共同任务。在今后很长一段时间内，混沌动力学仍会是一门极具活力的学科。