汪 莱（1768－1813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县瞻淇人。清代著名数学家，著有《衡斋算学》。

汪 莱，字孝婴，号衡斋，歙县瞻淇人。数学、天文、经学、训诂学、音韵学和乐律等都有很深造诣，尤以数学成就最著。嘉庆十一年（1806），为治理黄河水害，受命测量云梯关（今江苏淮安县东北200里）、六塘河入海口高程。嘉庆十二年，以优贡生入京，考取八旗官学教习，入史馆纂修《天文志》、《时宪志》。嘉庆十五年，调任池州郡石埭县训导，因廉洁自奉，尽心办学，卒于任上。池州郡守撰文勒碑于明伦堂，表彰汪莱的办学功绩。

汪莱在P进位制、方程论、弧三角术和组合计算方面取得重要研究成果。当时普遍采用十进位制，汪莱认为不必“尽立数于十”，对于具体问题，究竟采用何种进位制为宜，原则上应当“审法与数相宜而已”。较之本世纪40年代随着电子计算机的出现才兴起的P进位制研究早150余年。中国古代方程，多侧重解法（开方术）及布列法（天元法），只求解方程的一个正根，对于方程根的个数及性质认识模糊。汪莱指出，二次方程有二根，并论证了三次方程正根与系数的关系和三次方程有正根的条件。汪莱对于方程的认识、根的存在与判别的研究，是我国方程理论研究的发端。汪莱说“弧三角之算，穷形固难，设形亦难，稍不经意，动乖其方”。他分别论证了已知三边，三角，二角夹边或二边夹角，二角对一边或二边对一角等各种情况下有解的条件，其成就在梅文鼎、戴震、焦循诸家之上，汪莱将组合计算公式建立在中国传统的贾宪三角形规律上，论证了组合运算及其若干性质。所得出的递兼的定义、性质、计算公式以及恒等式均与现代组合运算结果相同，发现了组合规律，更赋予古老的贾宪三角形以组合的意义。

汪莱治学严谨，“人所言，不复言。所言皆人所未言与人所不能言”。主要著作有《衡斋算学》7册、《馨氏倨句解》1册、《参两算经》、《校正九章算术及戴氏订讹》、《四边形算法》、《十三经注疏正误》、《禹贡图考》、《说文声类》、《乐津逢源》、《衡斋诗集》等。

汪莱，字孝婴，号衡斋，歙县人。年十五，补博士弟子。弱冠后，读书於吴葑门外，慕其乡江文学永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易畴学，力通经史百家及推步历算之术。嘉庆十二年，以优贡生入都，考取八旗官学教习，会御史徐国楠奏请续修天文、时宪二志，经大学士首举莱与徐准宜、许澐入馆纂修。十四年，书成。议叙，以本班教职用，选授石埭县训导。十八年，应省试，得疾归，卒於官，年四十有六。先是十一年夏，黄河启放王营减坝，正溜直注张家河，会六塘河归海。两江督臣奉上命，查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高下，延莱测算，盖其精算之名，久为官卿所知。曾制浑天、简平、一方各仪器观测。

与郡人巴树谷最友善，客江、淮间，又与焦孝廉循、江上舍籓、李秀才锐，辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法。天性敏绝，极能攻坚，不肯苟於著述。凡所言，皆人所未言，与夫人所不能言。

尝以古书八线之制，终於三分取一，用益实归除法求之，其一表之真数，仅得十之二。因悟得五分之一通弦与五分之三通弦交错为三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之数益密。梅氏环中黍尺，有以量代算之术，惟求倚平仪外周之两角，而缩於内半周之角未详。其法较易，因立新术，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法，不及三乘方以上，又复推而广之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知积。并及诸物递兼之法，以补古九章所未备。

又纠正梅文穆公句股知积术，及指识天元一，正、负开方之可知、不可知。其纠正句股知积术也，文穆赤水遗珍称：“有句股积及股弦和较求句股，向无其术，苦思力索，立法四条。”其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法，文穆许之。莱谓：“句股形等积、等弦和，带纵立方形等基、等高阔和，皆有两形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股积二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦积亦四十九，句股积亦二百一十。设问者暗执一形，则对者交盲两数。梅、丁诸公法成而不可用，盖两句弦较，与一句弦和，恒为连比例之三率。其两句弦较，即首、末二率；两较减一和之馀，即中率；而句弦和必为三率亻并。遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘，句弦和除之，为带纵长立方积。以句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率，自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和，求得长阔两根为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍句股积自乘，即两形之倍句相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，再乘为立方三率，亻并为带纵。由是推得立方形两高数恒为首末二率，高阔和恒为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根，为两形高数之中率。与高阔和相减，馀为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之，得长阔一根，为两形之两高数。两高与和相减，为两阔数。”

其指识正、负开方也，“元李冶传洞渊九容术，撰测圆海镜、益古演段，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互详於宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校，谓少广一章，得此始贯於一。好古之士，翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少，几根数又多，几平方与一立方积等多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除之，得数乘几根数，以较几真数。若少於真数，则以几平方为高阔较，是为可知。若多於真数，则或几平方为通分法，三母总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通分之共子，如二、如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，根数多二十，平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知。”

盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书，括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名，而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答。”锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；莱以长阔、和较，明可知、不可知，其义一也。著有衡斋算学七册，考定通艺录磬氏倨句解一册。

汪莱（1768——1813），字孝婴，号衡斋。安徽歙县人。弱冠之年父亲逝世，遂只身去苏州，于葑门外设馆，以维生计。汪莱天资敏绝，有早慧之誉，一些重要论著多成稿于其青年时期，谓其“其学由自得，不假师授”（民国《歙县志·卷七》），或与其刻苦自厉有关。汪莱有学有识，多才多艺，除天算外，还通晓经史、释老及音韵、训诂、乐律、金石之学，工篆书，亦能诗，一生以设馆课徒为业，虽曾参与编辑国史馆《天文志》、《时宪志》，书亦不过授与一县城之训导而已。

汪莱的故乡歙县乃是徽派朴学的重要阵地，其青年时期就仰慕同乡江永、戴震、程瑶田、金榜之卓著成就，遂致力于通晓经史百家及推步历算之术。乾隆五十七年（1792），汪莱在故里制成浑天、简平等仪器，用以观测天象。同年，撰写成以阐述第谷体系的行星及日月运行规律的《覆载通几》，这是一部天文学著作，其中一些示图是依靠几何定理来作出的说明，创立了天算结合的研究模式，殊为难得。嗣后又多次前往扬州，设馆课徒。苏、扬是当时经济文化发达、人文荟萃的地区，汪莱在此得以结识不少知名之士如焦循、李锐等人，特别是与焦循相交，友谊最深。“循称当时精九数之学者，惟莱及锐。锐善言古人所已言，而阐发得其真；莱善言古人所未言，而引申得其间。锐，精实，如诗之有少陵；莱，超异，如诗之有太白。又称莱天资敏绝，性能攻坚，极繁赜幽秘，他人翻复再三，未能理其绪。而莱目一二过，已贯达其条目……” 焦循作为汪莱、李锐的好友，对二人深知有素，故所作评论，最为可信，故详引之（李锐，出吴派大家钱大昕门下，数学造诣之高享誉学林）。嘉庆六年（1801），汪莱又由歙县来到扬州，这次是应聘在翰林秦恩复家教馆。秦氏五笥仙馆贮有大量藏书，又时有名流学者前来聚会或造访。汪莱在这里认识了张敦仁、江藩、钱献之等学者。同年秋天，汪莱离开扬州去六安，后二年返回扬州。嘉庆八年（1803），张敦仁来任扬州知府，聘李锐为他当幕宾。这时，汪莱、焦循、凌廷堪、沈钦裴等人都在扬州，彼此切磋学问，旧友新交，地灵人杰，营造了相当活泼欢快的学术研究氛围。嘉庆十年（1805），夏銮来到徽州，担任新安训导，到任后四处访贤，适汪莱返乡，举荐他参加岁试，成廪生，后又荐举为优行督学。夏銮又命门生胡培翚、长子夏炘、四子夏燮向汪莱学习算学。次年两江总督奉旨测量黄河新旧入海口地势，延请汪莱主持，完成了测算任务。嘉庆十三年（1808），汪莱以优贡生赴北京，大学士禄康荐修国史天文、时宪二志，后授石埭（今石台）训导，时考制乐舞等器17宗，158件。嘉庆十八年（1813）卒于任职，身后萧然，石埭百姓出资送其归葬于故乡歙县之梅岭。

汪莱毕生致力于数学研究，其算学造诣曾为当时的同行专家所认可，焦循《加减乘除释》、张敦仁《辑古算经细草》都曾请汪莱为之作序，其序文今收载在其最有代表性的著作《衡斋文集》之中，其中对球面三角形的解法作了比较详细的论述，而之前梅文鼎、江永、戴震、焦循都曾为此撰文论述，然而都不及汪莱本书提出的“量角度新法”来得系统和详审。汪莱提出在求解方程时方程根不只有一正根，亦有负根，并设96道例题加以证明，是中国数学史上关于方程根研究的一个突破。汪莱对于其他诸如弧三角形、勾股形、 平圆形、弧矢关系、代数方程理论等专题都著有详尽的阐述。汪莱终生不得志，但始终坚持治学,刻意求新，研究算学往往参用西法，其主要著述流传至今，使后世在二百年后的今天，还得以窥见其才华和风采。

汪莱祖上以“诗书继世，孝友传家”为家训，其父汪昌早失亲，就此家道中衰。但汪昌博览群书，能诗善文，并曾中举人，撰有《静山堂诗文集》。 1768年9月27日，汪莱就诞生在这样一个贫寒的读书人家庭，其出生地在歙县瞻漠(今称记)之静山堂。

汪莱自幼秉承文学，6岁能诗，14岁入库。当时款县水、旱不断，家中生活更加艰辛。有一次汪莱奉父母命进城典当衣 归途遭恶犬咬啮，在腿上留下了深深的伤疤。这种艰难的活环境，铸就了他日后坚毅、顽强和独立不羁的个性。

1788年，汪昌去世，汪莱也开始离家谋生。这一年他刚满20岁，首先来到苏州，在葑门外教馆。在此期间，汪莱结识了著名学者焦循，并开始研读《梅氏历算全书》和《数理精蕴》等数学著作。1792年，汪莱返归故里，在家中自制浑仪、简平仪等并用它们来观测天象，这一期间他完成了一部名为《参两算经》的最早的数学作品。1796一1798年，汪莱先后与自己的同乡好友巴树谷、江玉讨论数学，完成《弧三角形》和《勾股形》两部书稿。 1789年，巴树谷将此两书合为一帙刊行，取名《衡斋算学》，这就是汪莱数学著作的最早刊本。同年汪莱乡试不第，巴树谷适有失子之伤，二人“移其情”于数学，“演得三干言”，这就是后来成了《衡斋算学》之三的《平圆形》。l799年，汪莱又应亲戚汪应埔之请“构难题数端往诸算学博士”，此即又一篇《弧三角形》，连同旧著《递兼数理》一道，后来成为《衡斋算学》之四。

1801年，汪莱由歙县来到扬州，在翰林秦恩复家教馆。秦家藏书颇丰，当时的扬州又是学士名流荟萃的中心，汪莱在此读到了宋元数学家秦九韶、李冶的著作，又得以与张敦仁、江藩、钱献之、李锐等相识。在对秦、李算书进行研究的基础上，汪莱写成了关于方程论的《衡斋算学》之五。这年秋天，汪莱离扬州赴六安，途中撰成《衡斋算学》之六。年底，汪延麟在扬州为他刊刻了六卷本的《衡斋算学》。

汪莱与乾嘉时代的另一个大数学家李锐初次会面于1800年。《衡斋算学》之五写成后，他曾分送数人征询意见；其中唯有李锐理解他的用心，赞为“穷幽极微，真算氏之最”李锐又作跋文一篇，后来也被收入《衡斋算学》之中。 1804年，李锐应知府张敦仁之邀来扬州充任幕宾，当时焦循也在扬州，汪莱与他们二人交往频繁，时人称他们为“谈天三友”。在此期间，汪莱继续钻研方程论，撰成《衡斋算学》之七。至此，汪莱的主要数学著作都已完成。

1805年，名学者夏銮调任新安训导，到歙县后闻知汪莱贤名，立即前往造访。两人“一见称莫逆，与语终日”，夏蛮称汪莱为“天下奇才”，并令门生胡培恽子夏忻、夏曼从汪学习数学。1806年，汪莱曾应两江总督铁宝之请主持黄河新、旧入海口的高程测算，功成后依然返歙。1807年在歙县以优行第一的成绩考取八旗官学教习，被选调入京参与国史馆的修历工作。在北京期间，汪莱读到明安图《割圆密率捷法》遗稿，对自己当年关于割圆分弧的作品有所检讨。国史馆的工作完成后，汪莱于1811年被分配到安徽石埭县任县学教渝。

汪莱志大才高，行为举止几近狂放，因此常与社会习俗冲突。他年轻时曾赋诗称“我亦乡间肆志人”， “兴来大叫鬼神惊”。乡试落第后自云“抱下而泣”。夏忻描绘他的外貌为“长身玉立，须眉秀发”，而他的气质为“跪磊不平之气，往往慷慨悲歌。”汪莱生前，学术界除焦循、李锐、夏蛮等少数人外，多数学者都不能理解他的成就。张敦仁曾讥评他的方程论研究“过苦”，后来又将自己的《开方补记》及搜访到手的明安图遗稿对他实行保密。曾与汪莱。、李锐都有交游的江藩把他们二人的学术争论加以渲染，说他们因论方程不合“遂如冠仇，终身不相见”，进而批评汪莱“过矣”。稍晚的罗士琳批评他“矫枉过正，未免失于偏。”骆腾风根本没有理解他的原意，就攻击他的方程论是“黯黔之词以欺世”，并以“算学砭愚”为题指名道姓地批评他的著作。种种事实表明，汪莱是被当时以考据相标榜的乾嘉学圈视为异端的人物。

汪莱到石埭后，生活依然清寒。此时他已很少与外界发生联系，但遇县学中有热心数学的生员，则悉心教诲，不厌其烦。他临终前几个月夏銮曾来看望，见其“颜色憔悴，悄然不乐”，就劝他再度著书；汪莱答道：“今世考据家陈陈相因，不过抄袭前言耳，非所发古人所未发也”。1813年12月4日，贫病交扰的汪莱死于任上。汪莱死后，家中萧然，囊无余资，石埭学生百姓感其清廉，输资送其枢归故里，葬于歙县梅岭之将军打坐场。

汪莱生前，《衡斋算学》已．出过三种刊本，但都不是足本。他去世后，夏蛮十分关心他的遗稿，特嘱长子夏忻与胡培翠加以搜集整理，后得《衡斋遗书》九卷，但长时间未能付样。1854年，夏蛮四子夏燮调任都阳(今江西波阳)知县，即从胡培翠后人处访得《衡斋遗书》稿本，连同《衡斋算学》一道，刊成《衡斋算学遗书》合刻本。《衡斋遗书》个也包括多种数学作品。

其主要著述有《参两算经》、《校正九章算术》、《戴氏订讹》、《十三经注疏正误》、《声谱》、《说文声类》、《今有录》、《诗文集》等。 嘉庆三年（1798），巴树谷将汪莱几年内所撰的“弧三角形”、“勾股形”书稿各一卷合刻，题名《衡斋算学》。咸丰四年（1854），夏燮访得《衡斋遗书》稿本，连同《衡斋算学》刊成《衡斋算学遗书》合刻本。

夏銮见他后，与语终日，临别，目送之，叹为“天下奇才”。

夏炘曾记述汪莱的风貌和为人，说他“长身玉立，须眉秀发”，说他“性喜饮，酒酣耳热，平生硊磊不平之气，往往慷慨悲歌，声音激越”。

“孝婴之学，深妙入微”。

人所言，不复言，所言皆人所未言，与人所不能言。故其著述无多卷，而简奥似周秦古书。又称莱于《六经》，务在熟习本文，博通注疏，原始要终，以一知半解为陋。熟于许氏《说文》，工篆法，余事亦为诗歌。性渊穆和易，与人接，无涯岸。有以所著撰相质，必首尾研究再三，否者直乙之，是者为之疏通发明。——汪莱好友焦循