欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。

把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

设

那么，即。

由上式可得

设

据模与辐角的定义及棣莫弗公式可得

即

由此可得

当a=0时,，即。

由此：

，，然后采用两式相加减的方法得到：，.这两个也叫做欧拉公式。将中的x取作π就得到：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

拓扑学又称“连续几何学”。

几何学的一门分科。研究几何图形经过连续形变后仍能保持的性质。包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等分支。

在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（事实上是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义，通常记作。

二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算：

其中V、E和F分别是点、边和面的个数。 特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有

用数学归纳法证明

( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点 ，则 该顶点保留 ，同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点 ，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：

①减少一个区域和一条边界；

②减少一个区 域、一个顶点和两条边界；

③减少一个区域、两个顶 点和三条边界；

即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不 论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了 ，在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。

因此 ，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立 ，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。.

柯西的证明

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下：

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）的额外变换。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形（把外部数在内），。所以。

推理证明

设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.

考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.

添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.

以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如

增添两个面后，有关系E=V+2;

增添三个面后，有关系E=V+3;

……

增添(F-2)个面后，有关系E=V+ (F-2).

最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加.因此，关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

添加一种证法，来自拓扑学基础，先从多面体上任取一顶点，以其为起点沿边扩出一个树叫他T（图论中的概念，其实就是跟现实中的树差不多，沿着线走不构成闭合曲线）遍历整个多面体，对一个树总有V（顶点数）-E（边数）＝1，不信的话可以用一一对应，类似集合比大小的证一下，再对每个面上都取一点，将他们相连，保证其不与先前的树T相交，同样有先前的结论，而这次顶点数对应面数，而由先前构建的是树，不构成闭合曲线，则可以得出新构建是树，且能遍历所有前一个树T没有经过的边（以相交的形式），有V（顶点数，对应多面体面数）-E（未被上一个树T包括的边数）＝1，将两式相加就有F（面数）+V-E＝2，不过先前证明并没有严谨的证明第二个树的成立，编者并没有那么强的拓扑水平，但我还是觉得该有人让证明更丰富，同时也希望这只是一个起点，有更强的人来完善这个证明，也包括许多其它缺乏多样证明的词条

当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有

（1）式称为欧拉公式。

为了证明（1）式，我们现将它改成

（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。事实上，如果将OI延长交圆于E、F，那么

因此，设AI交⊙O于M，则

因此，只需证明

或写成比例式

为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边；另一个以长2R、MI为边。前一个不难找，△IDA就是，D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。

容易证明

因此（5）式成立，从而（1）式成立。

因为，所以由欧拉公式得出一个副产品，即

特征函数用欧拉公式：随机变量X的特征函数定义为

众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：

其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r= 2，此公式称为欧拉公式。可以通过归纳法证明，且证明方法和拓扑学中的类似，此处略去。尽管和拓扑中的欧拉公式十分相似，但图论在现代一般划分在离散数学的研究范畴内，因此在这里单独列出。