归纳推理是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。

例如：在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，平面内的一切三角形内角和都是180度。

这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识，推出了“一切三角形内角和都是180度“这样的一般性结论，就属于归纳推理。

传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。

完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。

现代归纳逻辑则主要研究概率推理和统计推理。归纳推理的前提是其结论的必要条件。

其次，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，而可能为假。如根据某天有一只兔子撞到树上死了，推出每天都会有兔子撞到树上死掉，这一结论很可能为假，除非一些很特殊的情况发生，比如地理环境中发生了什么异常使得兔子必以撞树为快。

我们可以用归纳强度来说明归纳推理中前提对结论的支持度。支持度小于50%的，则称该推理是归纳弱的；支持度小于100%但大于50%的，称该推理是归纳强的；归纳推理中只有完全归纳推理前提对结论的支持度达到100%，支持度达到100%的是必然性支持。

归纳推理的数理逻辑通用演算形式为：s1⊆p+s2⊆p+s3⊆p+〈n〉（s⊆p）=∀×（s⊆p）。

归纳推理和演绎推理既有区别、又有联系。

1．思维进程不同。

归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程。

演绎推理不是从个别到一般的推理，但也不仅仅是从一般到个别的推理：演绎推理可以从一般到一般，比如从“一切非正义战争都是不得人心的“推出“一切非正义战争都不是得人心的“；

可以从个别到个别，比如从“罗吉尔·培根不是那个建立新的归纳逻辑学说的培根“推出“那个建立新的归纳逻辑学说的培根不是罗吉尔·培根“；可以从个别和一般到个别，比如从“这个物体不导电“和“所有的金属都导电“推出“这个物体不是金属“；还可以从个别和一般到一般，比如从“你能够胜任这项工作“和“有志者事竟成或者你不能够胜任这项工作“推出“有志者事竟成“。

在这里，应当特别注意的是，归纳推理中的完全归纳推理，其思维进程既是从个别到一般，又是必然地得出。

2．对前提真实性的要求不同。

归纳推理要求大前提，小前提必须为真。演绎推理则没有这个要求。

3．结论所断定的知识范围不同。

演绎推理的结论没有超出前提所断定的知识范围。归纳推理除了完全归纳推理，结论都超出了前提所断定的知识范围。

4．前提与结论的联系程度不同。

演绎推理的前提与结论间的联系是必然的，也就是说，前提真实，推理形式正确，结论就必然是真的。归纳推理除了完全归纳推理前提与结论间的联系是必然的外，前提和结论间的联系都是或然的，也就是说，前提真实，推理形式也正确，但不能必然推出真实的结论。

1．演绎推理如果要以一般性知识为前提，（演绎推理未必都要以一般性知识为前提）则通常要依赖归纳推理来提供一般性知识。

2．归纳推理离不开演绎推理。

其一，为了提高归纳推理的可靠程度，需要运用已有的理论知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，把握其中的因果性，必然性，这就要用到演绎推理。

其二，归纳推理依靠演绎推理来验证自己的结论。例如，俄国化学家门捷列夫通过归纳发现元素周期律，指出，元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性变化。后用演绎推理发现，原来测量的一些元素的原子量是错的。于是，他重新安排了它们在周期表中的位置，并预言了一些尚未发现的元素，指出周期表中应留出空白位置给未发现的新元素。

逻辑史上曾出现两个相互对立的派别——全归纳派和全演绎派。全归纳派把归纳说成唯一科学的思维方法，否认演绎在认识中的作用。全演绎派把演绎说成是唯一科学的思维方法，否认归纳的意义。

这两种观点都是片面的。正如恩格斯所说：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的。不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。“

通过观察、实验等方法得到的经验材料，需要经过加工整理，才能形成科学的结论。整理经验材料的方法有比较，归类，分析与综合以及抽象与概括等。

比较是确定对象共同点和差异点的方法。通过比较，既可以认识对象之间的相似，也可以了解对象之间的差异，从而为进一步的科学分类提供基础。运用比较方法，重要的是在表面上差异极大的对象中识“同“，或在表面上相同或相似的对象中辨“异“。

正如黑格尔所说：“假如一个人能看出当前即显而易见的差别，比如，能区别一支笔和一头骆驼，我们不会说这人有了不起的聪明。同样，另一方面，一个人能比较两个近似的东西，如橡树和槐树，或寺院与教堂，而知其相似，我们也不能说他有很高的比较能力。我们所要求的，是要能看出异中之同和同中之异。“

在进行比较时必须注意以下几点：

1．要在同一关系下进行比较。也就是说，对象之间是可比的。如果拿不能相比的东西来勉强相比，就会犯“比附“的错误。比如，木头长度是空间的长度，夜晚长度是时间的长度，两者不能比长短。

2．选择与制定精确的、稳定的比较标准。比如，在生物学中广泛使用生物标本，地质学中广泛使用矿石标本，用它们来证认不同品种的生物和矿石。这些标本就是比较的标准。研究陨石或登月采集的月岩物质，也是将它们与地球上的矿石标本比较。

3．要在对象的实质方面进行比较。比如，比较两名大学生谁更优秀，必须就他们的思想品德、学习成绩、实践能力等实质方面进行比较，而不是就性别、籍贯、家庭条件等方面进行比较。

归类是根据对象的共同点和差异点，把对象按类区分开来的方法。通过归类，可以使杂乱无章的现象条理化，使大量的事实材料系统化。归类是在比较的基础上进行的。通过比较，找出事物间的相同点和差异点，然后把具有相同点的事实材料归为同一类，把具有差异点的事实材料分成不同的类。

比如，全世界40万种植物，可把它们归为四大类（门）：藻菌植物门、苔藓植物门、蕨类植物门和种子植物门。由门再往下分可以得出纲、目、科、属、种各级单位。

归类与词项的划分是有区别的。

1．思维进程的方向不同。词项的划分是从较大的类，划分出较小的类。而归类则相反，它是从个体开始，上升到类，再上升到一般性更大的类。

2．作用不同。词项的划分是为了明确词项。归类则是把占有的材料系统化的方法。更为重要的是，由于正确的分类系统反映了事物的本质特征和内部规律性的联系，因而具有科学的预见性，能够指导人们寻找或认识新的具体事物。

例如，以达尔文生物进化论为基础建立起来的生物自然分类系统，曾预言了许多当时尚未发现的过渡性生物。始祖鸟就是达尔文所预言的一种。始祖鸟是介于爬虫类和鸟类之间的中间类型。它把这两类动物之间的空隙填补起来了，说明鸟类是由爬虫类演变而来的。

分析就是将事物“分解成简单要素“。综合就是“组合、结合、凑合在一起“。也就是说，将事物分解成组成部分、要素，研究清楚了再凑合起来，事物以新的形象展示出来。这就是采用了分析与综合的方法。

例如，分析一篇英文文章的结构，先是得到句子、单词，最后得到26个字母；反过来，综合是由字母组成单词，句子，再由句子组成文章，这些是文法所要研究的题材。

再如，白色的光经过三棱镜，分解成红橙黄绿青蓝紫七色光；反过来，七色光又合成白色光。这就是光谱的分析与综合，由此可以解释彩虹的成因。

分析和综合是两种不同的方法，它们在认识方向上是相反的，但它们又是密切结合，相辅相成的。一方面，分析是综合的基础；另一方面，分析也依赖于综合，没有一定的综合为指导，就无从对事物作深入分析。

抽象是人们在研究活动中，应用思维能力，排除对象次要的，非本质的因素，抽出其主要的，本质的因素，从而达到认识对象本质的方法。

概括是在思维中把对象本质的，规律性的认识，推广到所有同类的其他事物上去的方法。如发现“能导电“这一“金属“的共同本质后，可把这种共同的本质推广到全部金属上去，概括出全部金属都具有“能导电“的本质属性。

完全归纳推理是根据某类事物每一对象都具有某种属性，从而推出该类事物都具有该种属性的结论。

例如：“已知欧洲有矿藏，亚洲有矿藏，非洲有矿藏，北美洲有矿藏，南美洲有矿藏，大洋洲有矿藏，南极洲有矿藏，而欧洲、亚洲、非洲、北美洲、南美洲、大洋洲、南极洲是地球的全部大洲，所以，地球上所有大洲都有矿藏。“其逻辑形式如下：

S1是P

S2是P

……

Sn是P

S1，S2，…，Sn是S类的全部对象

所以，所有S都是P

完全归纳推理的特点是：在前提中考察了一类事物的全部对象，结论没有超出前提所断定的知识范围，因此，其前提和结论之间的联系是必然的。

运用完全归纳推理要获得正确的结论，必须满足两条要求：1．在前提中考察了一类事物的全部对象。2．前提中对该类事物每一对象所作的断定都是真的。

完全归纳推理有两个方面的作用：

1．认识作用。完全归纳推理根据某类事物每一对象都具有某种属性，推出该类事物都具有该种属性，使人们的认识从个别上升到了一般。比如，上面根据“地球上的大洲“这一类事物的每个对象都有“有矿藏“这一属性，得出“地球上所有大洲都有矿藏“的结论，就体现了完全归纳推理的认识作用。

2．论证作用。因为完全归纳推理的前提和结论之间的联系是必然的，所以常被用作强有力的论证方法。

比如对于论题“两个特称前提的三段论推不出结论“，可以这样论证：前提是II的三段论推不出结论，前提是OO的三段论推不出结论，前提是IO（OI）的三段论推不出结论，前提是II的三段论，前提是OO的三段论，前提是IO（OI）的三段论是两个特称前提的三段论的全部对象，所以，两个特称前提的三段论推不出结论。

完全归纳推理通常适用于数量不多的事物。当所要考察的事物数量极多，甚至是无限的时候，完全归纳推理就不适用了，而需要运用另一种归纳推理形式，即不完全归纳推理。

不完全归纳推理是根据某类事物部分对象都具有某种属性，从而推出该类事物都具有该种属性的结论。不完全归纳推理包括简单枚举归纳推理、科学归纳推理。

在一类事物中，根据已观察到的部分对象都具有某种属性，并且没有遇到任何反例，从而推出该类事物都具有该种属性的结论，这就是简单枚举归纳推理。比如，被誉为“数学王冠上的明珠“的“哥德巴赫猜想“就是用了简单枚举归纳推理提出来的。200多年前，德国数学家哥德巴赫发现，一些奇数都分别等于三个素数之和。

例如：

17=3+3+11

41=11+13+17

77=7+17+53

461=5+7+449

哥德巴赫没有把所有奇数都列举出来（事实上也不可能），只是从少数例子出发就提出了一个猜想：所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和。他把这个猜想告诉了数学家欧拉。欧拉肯定了他的猜想，并补充提出猜想：大于4的偶数都可以分解为两个素数之和。例如：

10=5+5

14=7+7

18=7+11

462=5+457

前一个命题可以从这个命题得到证明，这两个命题后来合称为“哥德巴赫猜想“。

民间的许多谚语，如“瑞雪兆丰年““础润而雨，月晕而风““鸟低飞，披蓑衣“等，都是根据生活中多次重复的事例，用简单枚举归纳推理概括出来的。

简单枚举归纳推理的逻辑形式如下：

S1是P

S2是P

……

Sn是P

S1，S2，…，Sn是S类的部分对象，并且其中没有S不是P

所以，所有S是（或不是）P

简单枚举归纳推理的结论是或然的，因为其结论超出了前提所断定的知识范围。数学家华罗庚在《数学归纳法》一书中，对简单枚举归纳推理的或然性做了很好的说明：

“从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球时，我们立刻就会猜想：‘是不是袋子里所有的球都是红玻璃球？’

但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球时，这个猜想失败了。这时，我们会出现另一个猜想：‘是不是袋里的东西全都是玻璃球？’当有一次摸出一个木球时，这个猜想又失败了。那时，我们又会出现第三个猜想：‘是不是袋里的东西都是球？’这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓。“

要提高简单枚举归纳推理的可靠性，必须注意以下两条要求：1．枚举的数量要足够多，考察的范围要足够广。2．考察有无反例。通常把不注意以上两条要求因而样本过少，结论明显为假的简单枚举归纳推理称为“以偏概全“或“轻率概括“。

鲁迅在《内山完造作序》里写到：“一个旅行者走进了下野的有钱的大官的书斋，看见有许多很贵的砚石，便说中国是'文雅的国度'；一个观察者到上海来一下，买几种猥亵的书和图画，再去寻寻奇怪的观览物事，便说中国是'色情的国度'。“

在这篇文章中，鲁迅更进一步揭示了此类人因为枚举的数量不够多或考察的范围不够广，不注意考察有无反例，以致“以偏概全“或“轻率概括“而最后必然要陷入的窘境：“倘到穷文人的家里或者寓里去，不但无所谓书斋，连砚石也不过用着两角钱一块的家伙。一看见这样的事，先前的结论就通不过去了，所以观察者也就有些窘。“

简单枚举归纳推理是归纳推理中最简单的一种方法。但是，尽管如此，其意义却不可忽视。

1．简单枚举归纳推理有助发现的作用。当还不能找到概括的充分根据，但已有相当的材料时，就要运用简单枚举归纳推理，作出初步概括，推出一个或然性结论，以作为进一步研究的起点。因而，形成假说时常用到简单枚举归纳推理。

例如，在波义耳定律的发现过程中，简单枚举归纳推理就起了一定的作用。波义耳从自己所掌握的许多实验事实中，概括出“在一定条件下，气体体积和它所受到的压强成反比“这一定律。

2．简单枚举归纳推理也可以用作论证的方法，在论证过程中发挥一定的作用。比如，胡适晚年有这样一段谈话：“凡是大成功的人，都是有绝顶聪明而肯做笨功夫的人。不但中国如此，西方也如此。像孔子，他说‘吾尝终日不食，终夜不寝，以思，无益，不如学也’，这是孔子做学问的功夫。

数学家和语言学家周海中对梅森素数研究多年，他运用联系观察法和不完全归纳法，在1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，从而揭示了梅森素数的重要规律，为人们探究这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。

科学归纳推理是根据某类事物中部分对象与某种属性间因果联系的分析，推出该类事物具有该种属性的推理。例如：

金受热后体积膨胀；

银受热后体积膨胀；

铜受热后体积膨胀；

铁受热后体积膨胀；

因为金属受热后，分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致膨胀，而金、银、铜、铁都是金属；

所以，所有金属受热后体积都膨胀。

上例在前提中不仅考察了一类事物的部分对象有某种属性，而且进一步指出了对象与属性之间的因果联系，由此推出结论。这就是科学归纳推理。

科学归纳推理的形式如下：

S1是P

S2是P

……

Sn是P

S1，S2，…，Sn是S类的部分对象，其中没有Si(1≤i≤n)不是P ；并且科学研究表明，S和P之间有因果联系

所以，所有S都是P

科学归纳推理与简单枚举归纳推理相比，有共同点和不同点。

它们的共同点是：都属于不完全归纳推理，前提中都只是考察了一类事物的部分对象，结论则都是对一类事物全体的断定，断定的知识范围超出前提。

不同点是：

1．推理根据不同

简单枚举归纳推理仅仅根据已观察到的部分对象都具有某种属性，并且没有遇到任何反例。科学归纳推理则不是停留在对事物的经验的重复上，而是深入进行科学分析，在把握对象与属性之间因果联系的基础上作出结论。

2．前提数量对于两者的意义不同。

对于简单枚举归纳推理来说，前提中考察的对象数量越多，范围越广，结论就越可靠。对于科学归纳推理来说，前提的数量不具有决定性的意义，只要充分认识对象与属性之间的因果联系，即使前提的数量不多，甚至只有一两个典型事例，也能得到可靠结论。正如恩格斯所说，十万部蒸汽机并不比一部蒸汽机更能说明热能转化为机械能。

3．结论的可靠性不同

虽然二者的前提和结论之间的联系是或然的，归纳强度不必然等于1。但科学归纳推理考察了对象与属性之间的因果联系，因而，科学归纳推理的归纳强度比简单枚举归纳推理的归纳强度大，也就是说，科学归纳推理与简单枚举归纳推理相比，结论的可靠程度大。

科学归纳推理倡导一种面对知识和结论不轻信而加以思考的习惯。这种习惯在资讯发达的时代尤显重要。想想，我们的媒体经常给我们传播一些多么自相矛盾的“科学知识“，这一点就不难明白了。

比如，媒体有时候说，饭后百步走好；有时候又说，饭后百步走不好。再如，有时候说，隔夜茶不能喝，喝了有害健康；有时候又说，研究表明，隔夜茶可以喝，与喝非隔夜茶一样。诸如此类，叫人简直不知所措。而科学归纳推理由于其主要特点是考察对象与属性之间的因果联系，因而有助于引导人们去探求事物的本质，发现事物的规律，从而比较可靠地把感性认识提升到理性认识。

M·克莱因在《西方文化中的数学》中写到：“不用说关于我们未来的事情，甚至从当下起的一小时后，也均无任何肯定的东西存在。一分钟后，我们脚下的地面可能就会裂开。但是，宣称这种可能性吓唬不了我们，因为我们知道，出现这种情况的概率极小。

换句话说，正是一个事件是否发生的概率，决定了我们对该事件的态度和行动。“那种在某种条件下可能现，也可能不出现的现象，我们称之为随机事件或偶然事件，如从一副桥牌中抽出一张红桃K。事实上，当我们观察了大量的同类随机事件后，就会发现其中存在着一定的规律性。

概率就是对大量随机事件所呈现的规律的数量上的刻画，通常用P(A)表示。运用概率推理，我们可以获知某事件发生的可能性有多大，或者说某事件发生的机会有多大。在这个意义上，可以说概率推理即关于机会的推断。

在日常生活中，我们仅仅满足于估计一个事件的概率是高还是低而已。但是，这种估计过于宽泛，不能满足诸如在工业、经济、保险、医疗、社会学，心理学等等许多问题上的需要。因为在上述情形中，必须知道准确的概率值。要达到这个目的，就要求助于数学。依靠数学计算出来的概率值，才能够可靠地指引我们的行动。

一般地，计算概率值的定义是：如果有n种等可能性，而有利于某事件发生的情形是m，则该事件发生的概率是m/n，不发生的概率是(n-m)/n。在这个定义下，如果事件是不可能的，则事件的概率为0/n，即为0；如果事件是完全确定的，则概率是n /n，即为1。

因此，概率值在从0到1的范围内变化，即从不可能性到确定性。所谓等可能性，就是说出现的可能性相同。比如，一个骰子有6个面，若在骰子的形状上或在扔骰子的方式中，没有任何因素有利于某一面的出现，则骰子6面出现的可能性相同，也就是骰子具有6种等可能性。

按照计算概率值的定义，从一副52张普通的扑克牌中，选取一张牌“A“的概率就是4/52，即1/13。因为这里有52种等可能性，其中有4种是有利的。但是，如果全部可能性不是等可能的，则这个计算概率值的定义就不适用。比如，一个人穿过街头只有两种可能性：或者安全穿过，或者没有安全穿过。但是，不能由此断定说一个人安全穿过街头的概率是1/2，因为，“安全穿过“和“没有安全穿过“这两种可能性并不是等可能的。

应当注意的是，概率告诉我们的是大量选取中所发生的情况。比如，从52张一副的扑克牌中选取“A“的概率是1/13，这并不意味着，如果一个人在这副扑克牌中取了13次，就一定会选中一张“A“。他可能取了30次或40次，也没有得到一张“A“。

不过，他取的次数越多，则取得A的次数与取牌总次数之比将会趋近于1/13。另外，这也并不意味着，如果一个人取了一张“A“，比如说正好是第一次取得的，下一次取出一张“A“的概率就必定小于1/13。概率依然将是相同的，即为1/13，即使3张“A“被连续取出来时也是如此。因为，一副牌既没有记忆也没有意识，因此已经发生的事情不会影响未来。