功，也叫机械功，是物理学中表示力对物体作用的空间的累积的物理量，功是标量，大小等于力与物体在力的方向上通过的距离的乘积，国际单位制单位为焦耳。“功”一词最初是法国数学家古斯塔夫·科里奥利创造的。

功，也叫机械功。如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。功是物理学中表示力对位移的累积的物理量。与机械能相似的是，功也是标量，国际单位制单位为焦耳。1J=1N·m=1kg·m2·s-2 “功”一词最初是由法国数学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利创造。

功的定义（一维）

在一维运动（即在一条直线上的运动）中，如果物体因为力F从A运动到B，位移了x，物体做了W的功。

定义 物体在力F作用的方向上移动了dx的距离，施力方所消耗的能量。

两端积分： ，这是功的一般定义。

根据牛顿第二定律：

速度定义式： （可以理解为在一段时间dt内的位移距离为dx，当dt趋于0时，v是瞬时速度）

加速度定义式： （可理解为在一段时间dt内的增加速度为dv，当dt趋于0时，a是瞬时加速度）

积分可代换为 。（其中 和 分别是物体在A点和B点的速度）

如果物体做匀速运动（速度可为0），那么物体总功为零；

如果物体受到的力合力为F，而初运动和末运动的位移方向与F相同，那么这个物体做正功；

如果物体受到的力合力为F，而初运动和末运动的位移方向与F相反，那么这个物体做负功；

功是标量，功的正负不代表大小，+3J的功比-5J的功小。

功的定义（三维）

在三维运动（即在一个空间中的运动）中，如果物体因为力F从A运动到B，位移了r，物体做了W的功,

r=ix+jy+kz,F=iFx+jFy+kFz，i,j,k分别是x,y,z的正方向单位向量，定义 为物体从A到B所做的功。

根据牛顿第二定律：

速度定义式：

加速度定义式：

我们把三维运动分解为三个方向的一维运动，就有计算公式：

速度的x，y，z正方向的投影用下标表示。

特别的当所有矢量的z方向为0时，是二维运动的总功，如果y方向也为0时，是一维运动的总功，与之前的定义是不矛盾的。

功的公式

W=Fscosα (初中阶段，力方向与位移方向的夹角为0，即α=0°，cos0°=1，所以W=Fs)

推导：

在二维运动中，

F是恒定力（即始终不改变的力），s是物体位移，从A到B，α是F与x轴夹角，θ是s与x轴夹角，如果我们令θ=0，那么只需要取s是正方向，垂直于s的是y轴就可以了，那么第二项就为0，AB=s=x，故

做功的两个因素：

1.作用在物体上的力

2.物体在这个力的方向上移动的距离

注：功的公式只能计算一个力或一个合力所做的功，如要算总功，需用速度与质量的公式。

如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，力学里就说这个力做了功。 即使存在力，也可能没有做功。例如，在匀速圆周运动中，向心力没有做功，因为做圆周运动的物体的动能没有发生变化。同样的，桌上的一本书，尽管桌对书有支持力，但因没有位移而没有做功。

总的来说不做功的情况有三种：不劳无功、有劳无功和垂直无功。（不劳无功：只移动了距离，但在这移动的方向上没产生力，即0·Fs·cosα=0焦耳；有劳无功：只有力，却在力的方向上没有移动一定的距离，F·0·scosα=0焦耳；垂直无功：物体既受到力，又通过一段距离，但两者方向互相垂直，Fscos90°=Fs·0=0J。）

热传导不被认为是做功，因为能量被转化成了微观原子的振动而非宏观的位移。

PS：功的实质就是力的空间累积。

力与物体在力的方向上通过的距离的乘积称为机械功（mechanical work），简称功。

功定义为力与位移的内积。其中，W 表示功，F 表示力，而dx 表示与外力同方向的微小位移；上式应表示成路径积分，a 是积分路径的起始点，b 是积分路径的终点。为了了解物体受力作用，经过一段距离后所产生的效应，而定义出功的概念。

功是标量，所以功的正、负不表示方向。功的正负也不表示功的大小。它仅仅表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说是表示力对物体做了功还是物体克服这个力做了功。若要比较做功的多少，则要比较功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少。功是能量变化的量度，做功的多少反映了能量变化的多少，功的正负则反映了能量转化的方向（注意：不是空间的方向）

判断一个力对物体是否做功，可根据该力和物体位移方向的夹角是否为90°，或力与物体速度方向的夹角是否总是90°来确认力是否对物体做功。夹角大于90°时功为负，夹角小于90°时功为正。

国际单位制中功的单位为焦耳（J）。焦耳被定义为用1牛顿的力对一物体使其发生1米的位移所做的机械功的大小。量纲相同的单位牛·米有时也使用，但是一般牛·米用于力矩，使其跟功和能区别开。

在国际单位中，功的单位是焦耳，简称“焦”，符号为J，单位为J 1J=1N·m 由英国物理学家焦耳（James Prescott joule，1818~1889）对科学的贡献而命名的。

非国际单位制单位包括尔格、英尺·磅、千瓦小时（kW·h）、大气压力、马力小时（HP·h）。而由于具有相同的物理量─热能，偶尔会见到以热量热能形式表示的测量单位，如：卡路里（cal）、BTU等。

大小和方向都不变的力F，作用于沿直线运动的物体上（图1），力作用点的位移为S，则力F对

该物体所作的功A为，

式中α为F和S的夹角。当α< 时，功为正值：当α> 时，功为负值；当α= 时，即力和位移方向垂直，力在此位移上不作功。

大小和方向变化的力F，作用于沿曲线运动物体的C点上（图2）。当作用点有微小的位移dr时（|dr|=dS），在其上的力F可视为不变，因此，力F在微小位移dS上所作的元功为：

dA=FcosαdS=F·dr=Fxdx+Fvdy+Fzdz。

将整个路程上力在各微段的元功总和起来，得力F沿曲线ab的总功：

式中a、b为曲线运动的起止点。知道变力F随路程S的变化关系，就可由上式求出功的量值。

物体作曲线运动时，法向力Fn与位移垂直不做功，故总功只与切向力Fi有关，即A=

合力的功 如有m个力F1，F2，···，Fm作用于物体的一点上，则这些力的功为：

式中R= 为诸力的合力，Ri为合力的切向分量。

力偶的功可表示为：

式中T为作用于刚体上的力偶矩；ω为刚体的角速度；t为时间。当刚体作平动时，ω=0，则力偶之功为零。当刚体作平面一般运动时，T和ω均可看作代数量，故有：

T和ω转向相同时，取正号；相反时，取负号。

力与位移都是矢量。功是力与位移的内积，为标量。

故功的一般公式为：

非零力可以不做功，这一点与冲量不同。

力矩所做功可由下式计算得到： 其中为力矩。

方法一：

做功相同，比时间。时间越短，做功越快。

方法二：

时间相同，比做功。做功越多，做功越快。

方法三：

做功和时间均不相同，比比值。 做功/时间的值越大，做功越快。

一个物体对外做了多少功，它就减少了多少能量。反之，外界对一个物体做了多少功，这个物体的能量就增加了多少。（功与能单位相同）

1、词条作者：戴宗信．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：功：中国大百科全书出版社，1987 ：182页