1611年（庆长十六年）－1658年（万治元年） 京都出身，本姓杉村，据云是算砂的亲生儿子。

老师算砂遗命由中村道硕监护，七年后的1630年（宽永七年）得到幕府承认，赐予三十石俸禄五人扶持待遇。道硕临终时荐为上手，正式继承本因坊家。1623年本因坊算砂逝世时享年六十七岁。在算砂去世后，名人之位由井上家开宗掌门道硕继任，而本因坊一门则由算砂的小弟子算悦接掌，井上道硕原本是算砂之徒，虽然现已身为别家掌门，但出于感念师恩，为算悦帮了相当多的忙，其中包括指导算悦的棋艺。井上道硕做了七年的名人，到他去世时算悦已是20岁的青年，棋力达到七段，在当时日本的段位制度而言，棋力最强的九段只能有成为名人的一人，八段准名人原则上也只是一人而已，有八段资格便可作为次任名人的候选，道硕去世时棋坛并无实力达到八段的人物，因此于情于理，实力达到七段上手程度，又是本因坊算砂继承人的算悦，都有资格成为新的名人。

由于二世本因坊的出现，安井算哲的弟子兼养子算知袭安井位，家元世袭制度的基础确立。

达成师命的道硕于1630年（宽永七年）去世名人棋所空缺，1640年（寛永十七年）将军德川家光安排主持召开了“碁所诠议”，诸大老奉行及安井算哲（当时五十岁）、本因坊算悦（当时二十九岁）、井上因硕（当时三十五岁）奉召出席。

在会议上半名人（八段）安井算哲自荐被斥退，二世因硕又不愿意与算悦争棋，在众人暧昧不明的态度下，棋所归属只好搁置。

1645年（正保二年）算知突然提出争棋，这个算知算悦关于名人棋所的对战据传是围棋史上最初的争棋。争棋由当年御城棋开战，一年弈一局，九年共弈六局，三胜三负未能确定名人之位。在第五局与最终局间因将军家光死去引发的由井正雪之乱有三年中断。争棋五年后算悦去世，时年四十七岁。

第一局 正保二年(1645) ×算悦（互先） 中盘胜 ○算知（先番）

第二局 正保三年(1646) ○算悦（先番） 九目 ×算知（互先）

第三局 正保四年(1647) ×算悦（互先） 六目 ○算知（先番）

第四局 庆安元年(1648) ○算悦（先番） 十一目 ×算知（互先）

第五局 庆安二年(1649) ×算悦（互先） 十一目 ○算知（先番）

第六局 承应二年(1653) ○算悦（先番） 六目 ×算知（互先）

算悦虽然末能当上名人棋所，但算悦的棋力的确是无愧于本因坊算砂继承人这一身份的。而算悦做为棋士的骨气，比起棋技更加值得称道。

那是在与安井算知御城棋六番战中的一局，当时观棋政要中有松平肥后守在场，弈至中盘时，松平在旁评论道：“此局本因坊要输了吧。”算悦闻言当即站起身来，平静而坚定地对松平政冈说道：“我已把毕生的精力献给了棋道，每次对局都象用生命在赌博，这和勇士上战场一样。一旦面向棋枰，不能被任何人所制肘，也绝不允许任何人多嘴多舌，何况我是当世的七段上手。阁下怎么能预先判断胜负呢？既然如此，御城棋就到此为止吧。”说罢扬长而去，搞得松平目瞪口呆，一时下不来台。只得跟至本因坊家向算悦赔礼，这事才算揭过。

无论古今哪个时代，人们都各有不同的价值观和处事方法。象本因坊算悦这般，可能是有一点不识时务。但无论如何也值得后人起敬。

算砂本姓杉村，12岁时（1623年）被一世本因坊算砂立为迹目。该年，算砂深知自己天年将尽，把自己的高徒中村道硕叫到病榻前，亲手将“名人棋所”的任命书传授给他，同时将算悦托付给道硕。算砂去世后，道硕果然不负师傅临终之托，对算悦悉心指导，加上算悦才能出众，棋艺进步神速。

宽永七年（1630年），算悦晋升七段，并得到幕府恩准，荣获二世本因坊掌门人资格，享30石俸禄，5人侍奉，使本因坊家的势力得以复兴，后继有人。

二世名人中村道硕过世后，棋所职位成了空缺。1640年（宽永7年），德川家光主持会议讨论棋所的归属问题。召集的各棋家代表有安井算哲（50岁）、二世本因坊算悦（29岁）、二世井上因硕（35岁）等人。会上安井算哲八段首先自荐，但遭幕府官员驳斥。幕府官员建议算悦与因硕争棋决定棋所归属，但井上因硕因自小就和算悦在师父道硕门下学艺，没有和算悦争棋的打算。因而棋所职位问题不了了之。

安井算哲竞争棋所失败，于是把希望寄托在自己的门徒二世安井算知身上。本因坊算悦和二世安井算知为了争夺棋所宝座，终于展开了围棋史上第一次悲壮的殊死搏斗。

正保2年（1645年），二世本因坊算悦与二世安井算知的六番争棋开始，前5局每年都对局，但第六局却间隔了庆安 3、4 年和承应元年三年之后才下。由于将军家光去世，并发生了由井正雪之乱，社会动荡不安造成其间三年未弈的空白时间。

第一局 正保2年（1645年）10月16日 于御城 安井算知执黑中盘胜本因坊算悦第二局 正保3年（1646年）11月 2日 于御城 本因坊算悦执黑9目胜安井算知

第三局 正保4年（1647年）月日不详 于御城 安井算知执黑6目胜本因坊算悦

第四局 庆安元年（1648年）月日不详 于御城 本因坊算悦执黑11目胜安井算知

第五局 庆安2年（1649年） 2月17日 于御城 安井算知执黑11目胜本因坊算悦

第六局 承应2年（1653年）10月17日 于御城 本因坊算悦执黑中盘胜安井算知

结果是双方各执黑获胜，三胜三败而难分高下。历时九年才对弈六盘棋，这种极为缓慢的赛程安排以及没有再进行加赛，说明当时幕府对决定“名人棋所”一事并不热心。争棋五年后的万治元年（1658年），算悦47岁时谢世。三世本因坊道悦继位。