如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的
平均速度是60千米/小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短
时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的
瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设
一元函数 y=f(x)在 x0点的附近(x0－a ，x0 +a)内有定义，当
自变量的
增量Δx= x－x0→0时函数增量 Δy=f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率）。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为
定义域的新函数，记作 f'，称之为f的
导函数，简称为导数。函数y=f（x）在x0点的
导数f'（x0）的几何意义：表示曲线l 在P[x0，f（x0）] 点的
切线斜率。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y=f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）＞0,则f（x）在这个区间是单调增加的。。如果在（a，b）内，f'（x）＜0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y=f(x )有
极大值或
极小值，极大值中最大者是
最大值，极小值中最小者是
最小值。
导数即表示函数在某一点的
切线的斜率。例如f'(x)=x^2，在x=4时，f'(x)=16，在x=0时，f'(x)=0，所以在x=0时，
f(x)=x^2的切线可看作与x轴平行。
当对于任意x∈（a，b）都有f'(x)＞0时，函数f(x)在（a，b）是
增函数。
而当对于任意x∈（a，b）都有f'(x)＜0时，函数f(x)在（a，b）是
减函数。