数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。常见的方法有
公式法、
错位相减法、
倒序相加法、
分组法、
裂项法、
数学归纳法、
通项化归、并项求和。数列是高中代数的重要内容，又是学习
高等数学的基础。在高考和各种
数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了
等差数列和
等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。
公式法
例如：
:等差数列公差
错位相减法
适用情况：
通项公式为等差数列乘以等比数列的数列求和
,分别是等差数列和等比数列.
其中：
那么：
此外，式可变形为:
其中，为的前n项和，此形式更便于记忆
阿贝尔求和公式
该公式又叫做分部求和公式，是离散型的
分部积分法，最早由数学家
阿贝尔提出。这个方法也适合解决等差等比数列相乘的数列求和，方便快捷并且证明十分容易。
设为公差为的等差数列，为公比不为1的等比数列，是其前项和，为数列的前项和，则：
再利用等比数列的求和公式把写出来即可。（这里不写是因为化简后的公式十分复杂，字母繁多，不如
具体问题具体分析）
证明：
又由于
那么
倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
裂项相消法
适用于
分式形式的
通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
[例] 求数列 的前n项和.
解： （裂项）
则
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点：
1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
数学归纳法
一般地，证明一个与
正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为
自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：
求证：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
通项化归法
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列的前n项和。此时先求出通项公式，再利用分组等方法求和。
并项求和法
（常采用先试探后求和的方法）
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
方法三：
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^（n+1）
求和公式
系数数列为
l为{1；1/2；1/12；0；-1/720；0；……}其除第二项的所有偶数项皆为0,证明略.
例如m等于2 求和公式
通项式为多项式的数列求和公式
通项式为多项式的数列求和公式为其中各项求和公式简单的
线性组合。不做赘述。
数列求和极限
常用方法有：