拿破仑定理
几何定理
拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴已知最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不需为等边三角形）作三角形，结论同样成立。
验证推导
在△ABC的各边上向外各作等边△ABF，等边△ACD，等边△BCE。
如何证明：这3个等边三角形的外接圆共点？
思路1：利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。
证明：设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。
∴ ∠AFB=∠ADC=60°；
∵ A、F、B、O四点共圆；A、D、C、O四点共圆；
∴ ∠AOB=∠AOC=120°；
∴ ∠BOC=120°；
∵ △BCE是等边三角形
∴ ∠BEC=60°；
∴ B、E、C、O四点共圆
∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。
结论：因为周角等于360°，所以，∠AOB=∠AOC=120°时，∠BOC就等于120°；用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题。
以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。
求证：上面3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？
证明一
思路1：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。
证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P
相交于O；连AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四点共圆；
A、F、C、O四点共圆
B、E、C、O四点共圆
∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；
∵ NP、MP、MN是连心线；
BO、CO、AO是公共弦；
∴ BO⊥NP于X；
CO⊥MP于Y；
AO⊥NM于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆；
Y、M、Z、O四点共圆；
Z、N、X、O四点共圆；
∴ ∠N=∠M=∠P=60°；
即△MNP是等边三角形。
证明二
思路2：证明原三角形重心至外围三个等边三角形几何中心距离相等。
左图中绿色辅助线利用中线特性求其长度，绿色角度值亦可用余弦定理求出，结合垂角，进一步利用余弦定理求出两几何中心距离，同理可证原重心与另外两个等边三角形的几何中心距离。
费马点也是证明拿破仑定理的好方法。
右图即是用费马点的性质来推导拿破仑定理的证明方法。
证明三
思路3：用相似证明三边相等
证明：如图1，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC　又∵AG=AF，GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF，∠AGF=60°　∵△AGE∽△ABC
∴∠AGE=∠ABC
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理，FD=DE
∵FD=DE=FE
∴△DEF为等边三角形
最新修订时间：2024-11-09 20:43
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